Determine os rais de convergência das séries dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a série:
O que a gente precisa encontrar aqui é o raio de convergência dessa série. Isso faz parte do estudo das séries de potências, onde a gente quer saber para quais valores de
a série converge. Para resolver isso, vamos usar o teste da raiz, que ajuda a determinar esse raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a análise:
Aqui, o coeficiente de
é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste diz que o raio de convergência
pode ser encontrado usando a fórmula:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular o limite superior (lim sup) de
quando
tende ao infinito:
Isso significa que:
Resposta
O raio de convergência da série é 0, ou seja, a série converge apenas quando
.