Determine os rais de convergência das séries dadas.
sumn=0^infty(raizn)^n z^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a série:
sumn=0^infty (raizn)^n z^n
O que a gente precisa encontrar aqui é o raio de convergência dessa série. Isso faz parte do estudo das séries de potências, onde a gente quer saber para quais valores de z a série converge. Para resolver isso, vamos usar o teste da raiz, que ajuda a determinar esse raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a análise:
sumn=0^infty (raizn)^n z^n = sumn=0^infty n^n2 z^n
Aqui, o coeficiente de z^n é an = n^n2 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste diz que o raio de convergência R pode ser encontrado usando a fórmula:
1R = limsupn to infty raiz[n]|an|
No nosso caso, an = n^n2 , então:
raiz[n]|an| = raiz[n]n^n2 = n^12

Passo 4

Vamos calcular o limite superior (lim sup) de n^12 quando n tende ao infinito:
limsupn to infty n^12 = infty
Isso significa que:
1R = infty implies R = 1infty = 0

Resposta

O raio de convergência da série é 0, ou seja, a série converge apenas quando z = 0 .

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