In Problems 25-34 find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
f(x)=cos x, 0<x<pi / 2

Passo 1

O enunciado pede as expansões em meio-intervalo de cossenos e de senos para a função
f(x)=cos x, 0<x<tfracpi2
O conteúdo é séries de Fourier de meio-intervalo numérico com comprimento L=tfracpi2. Vamos usar as fórmulas para coeficientes de séries de cossenos e de senos em [0,L].

Passo 2

Primeiro fazemos a expansão em cossenos. Para L=tfracpi2 as fórmulas padrão são
a0=2Lintegral0^Lf(x),dx, an=2Lintegral0^Lf(x)cos!l(tfracnpi xLr),dx,
e a série fica
f(x)sim a02+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi xLr)

Passo 3

Calculando a0 e an:
a0=2(pi/2)integral0^pi/2cos x,dx =4pil[sin xr]0^pi/2 =4pi
Para n>=1, note que tfracnpiL=2n, então
an =2(pi/2)integral0^pi/2cos xcos(2n x),dx =4piintegral0^pi/2cos xcos(2n x),dx
Usando cos xcos(2n x)=tfrac12[cos((2n-1)x)+cos((2n+1)x)] e avaliando, obtém-se
an =4pi,12l[ (-1)^,n-12n-1+(-1)^n2n+1 r] =2pi(-1)^,n-1l(12n-1-12n+1r) =4pi,(-1)^,n-1(2n-1)(2n+1)

Passo 4

Portanto a expansão em cossenos é
cos x =a02+sumn=1^inftyancos(2n x) =2pi +sumn=1^infty4pi,(-1)^,n-1(2n-1)(2n+1) ;cos(2n x)

Passo 5

Agora a expansão em senos usa
bn=2Lintegral0^Lf(x)sin!l(tfracnpi xLr),dx
e a série
f(x)sim sumn=1^inftybnsin!l(tfracnpi xLr)
Aqui também tfracnpiL=2n, então
bn =4piintegral0^pi/2cos xsin(2n x),dx
Usando cos xsin(2n x)=tfrac12[sin((2n+1)x)+sin((2n-1)x)] e avaliando, chega-se a
bn =4pi,12l(12n-1+12n+1r) =2pil(12n-1+12n+1r) =8npi,(4n^2-1)

Passo 6

Logo a expansão em senos é
cos x =sumn=1^infty8npi,(4n^2-1);sin(2n x)

Resposta

Expansão em cossenos (meio-intervalo 0<x<tfracpi2):
boxed cos x =2pi +sumn=1^infty4pi,(-1)^,n-1(2n-1)(2n+1) ;cos(2n x)
Expansão em senos (meio-intervalo 0<x<tfracpi2):
boxed cos x =sumn=1^infty8npi,(4n^2-1);sin(2n x)

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