In Problems 25-34 find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
f(x)=sin x, 0<x<pi

Passo 1

O enunciado pede as expansões de meia-onda, na faixa 0<x<pi, de
f(x)=sin x
em (a) série de cossenos (extensão par em -pi<x<pi) e (b) série de senos (extensão ímpar em -pi<x<pi). Vamos usar o fato de que em 0<x<pi vale a ortogonalidade das funções cos(nx) e sin(nx).

Passo 2

Para a expansão em cossenos escrevemos
f(x)sim a02+sumn=1^infty ancos(nx),
onde
an=2piintegral0^pisin xcos(nx),dx, a0=2piintegral0^pisin x,dx
Calculamos primeiro
a0=2piintegral0^pisin x,dx =2pil[-cos xr]0^pi =2pi( -(-1)+1 ) =4pi

Passo 3

Agora an para n>=1. Usamos
sin xcos(nx) =12l(sin[(n+1)x]+sin[(1-n)x]r)
e integramos de 0 a pi. Após avaliar os senos em 0 e pi, verifica-se que an=0 para n ímpar, e para n=2k (par) obtemos
a2k =2piintegral0^pisin xcos(2k x),dx =-4pi,(2k-1)(2k+1)

Passo 4

Portanto a expansão em cossenos fica
sin x =a02+sumk=1^inftya2kcos(2k x) =2pi +sumk=1^inftyl(-4pi,(2k-1)(2k+1)r)cos(2k x)

Passo 5

Para a expansão em senos escrevemos
f(x)sim sumn=1^inftybnsin(nx),
onde
bn=2piintegral0^pisin xsin(nx),dx
Usando ortogonalidade, para n=1
b1=2piintegral0^pisin^2x,dx =2picdotpi2=1,
e para n>=2,
integral0^pisin xsin(nx),dx=0 Longrightarrow bn=0

Resposta

Expansão de meia-onda em cossenos (extensão par):
sin x =2pi +sumk=1^inftyl(-4pi,(2k-1)(2k+1)r)cos(2k x)
Expansão de meia-onda em senos (extensão ímpar):
sin x=sumn=1^inftybnsin(nx), b1=1,;bn>=2=0,
isto é, simplesmente sin x próprio.

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