In Problems 25-34 find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
Passo 1
O enunciado pede as expansões de meia-onda, na faixa
, de
em (a) série de cossenos (extensão par em
) e (b) série de senos (extensão ímpar em
). Vamos usar o fato de que em
vale a ortogonalidade das funções
e
.
Passo 2
Para a expansão em cossenos escrevemos
onde
Calculamos primeiro
Passo 3
Agora
para
. Usamos
e integramos de
a
. Após avaliar os senos em
e
, verifica-se que
para
ímpar, e para
(par) obtemos
Passo 4
Portanto a expansão em cossenos fica
Passo 5
Para a expansão em senos escrevemos
onde
Usando ortogonalidade, para
e para
,
Resposta
Expansão de meia-onda em cossenos (extensão par):
Expansão de meia-onda em senos (extensão ímpar):
isto é, simplesmente
próprio.