E5: Determine uma raiz positiva de f(x)=2 x \sin (x)-4 com precisão de \varepsilon \leq 10^{-3}, usando o método de Newton.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma raiz positiva da função \;f(x)=2x\sin(x)-4\; com precisão \;\varepsilon\leq 10^{-3}\; usando o método de Newton.
Informações dadas:
f(x)=2x\sin(x)-4,
\varepsilon\leq 10^{-3},
método exigido: método de Newton (iterações de Newton).

Passo 2

O que é o método de Newton (explicação didática, sem pular etapas).
O método de Newton procura uma raiz de f(x)=0 construindo uma sequência \{x_n\} definida por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Intuição: numa iteração aproximamos f por sua reta tangente em x_n e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. Para aplicar precisamos calcular f(x_n) e f'(x_n) em cada passo. Como critério de parada usaremos a condição \lvert x_{n+1}-x_n\rvert\leq\varepsilon, que garante que a aproximação mudou menos que a precisão desejada.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) (aqui ensino a regra usada).
Temos f(x)=2x\sin(x)-4. A constante -4 some na derivada. Para derivar 2x\sin(x) usamos a regra do produto: se u(x)=2x e v(x)=\sin(x), então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u'(x)=2 e v'(x)=\cos(x). Portanto
f'(x)=2\sin(x)+2x\cos(x).
Explicando: a primeira parcela vem de 2\cdot \sin(x) (derivada de 2x multiplicada por \sin(x)) e a segunda de 2x vezes a derivada de \sin(x), que é \cos(x).

Passo 4

Escolha do chute inicial x_0 (explicação e estimação da localização da raiz).
Queremos a raiz positiva de 2x\sin(x)-4=0, isto é x\sin(x)=2. Observações rápidas para localizar a raiz:
  • Em 0<x<\pi tem-se \sin(x)\leq 1 e x\sin(x)\leq x<\pi\approx 3{,}14. Testando valores: em x=2 temos 2\sin(2)\approx 1{,}818<2, logo não é solução; o produto x\sin x atinge valores menores que 2 nesse primeiro intervalo.
  • Em x=2\pi\approx 6{,}283 temos \sin(2\pi)=0 e então x\sin x=0<2. Em x=5\pi/2\approx 7{,}854 temos \sin(5\pi/2)=1 e então x\sin x\approx 7{,}854>2. Portanto, por continuidade existe pelo menos uma raiz em (2\pi,5\pi/2), ou seja em (6{,}283,\;7{,}854).
  • Fazendo avaliações rápidas: em x=6{,}5 temos \sin(6{,}5)\approx 0{,}2151 e f(6{,}5)=2\cdot 6{,}5\cdot 0{,}2151-4\approx -1{,}203 (negativo). Em x=6{,}6 (cálculo mais abaixo) obtemos f(6{,}6)\approx 0{,}1102 (positivo). Logo há raiz entre 6{,}5 e 6{,}6. Isso sugere escolher um chute inicial próximo de 6{,}6. Vou usar
x_0=6{,}6,
pois já está bem próximo da raiz e tornará o método rápido (convergência quadrática típica quando a aproximação inicial é razoável).

Passo 5

Primeira iteração: calcular f(x_0), f'(x_0) e x_1 com detalhes numéricos (mostro como obter seno e cosseno reduzindo o ângulo).
Para calcular \sin(6{,}6) e \cos(6{,}6) é prático reduzir pelo múltiplo inteiro de 2\pi: 6{,}6-2\pi\approx 6{,}6-6{,}283185307=0{,}316814693. Usamos a série de Taylor truncada para estimar seno e cosseno neste ângulo pequeno (explico por que): para \theta pequeno,
\sin\theta\approx \theta-\frac{\theta^3}{6}+\frac{\theta^5}{120},\qquad \cos\theta\approx 1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{24},
esses termos já dão precisão suficiente aqui.
Com \theta=0{,}316814693:
\theta^2\approx 0{,}10036,\quad \theta^3\approx 0{,}03180,\quad \theta^4\approx 0{,}01007,\quad \theta^5\approx 0{,}00319.
Logo
\sin(6{,}6)\approx 0{,}316814693-\frac{0{,}03180}{6}+\frac{0{,}00319}{120}\approx 0{,}316814693-0{,}005300+0{,}000027\approx 0{,}311542.
\cos(6{,}6)\approx 1-\frac{0{,}10036}{2}+\frac{0{,}01007}{24}\approx 1-0{,}05018+0{,}00042\approx 0{,}95024.
Agora computamos f e f':
f(6{,}6)=2\cdot 6{,}6\cdot \sin(6{,}6)-4\approx 13{,}2\cdot 0{,}311542-4\approx 4{,}1102-4\approx 0{,}1102.
f'(6{,}6)=2\sin(6{,}6)+2\cdot 6{,}6\cdot\cos(6{,}6)\approx 2\cdot 0{,}311542+13{,}2\cdot 0{,}95024\approx 0{,}62308+12{,}5432\approx 13{,}1663.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\approx 6{,}6-\frac{0{,}1102}{13{,}1663}\approx 6{,}6-0{,}008374\approx 6{,}591626.

Passo 6

Segunda iteração: calcular f(x_1), f'(x_1) e x_2 com detalhes.
Reduzimos novamente o ângulo: x_1-2\pi\approx 6{,}591626-6{,}283185307=0{,}308440693. Usando as séries (mesma ideia que antes) com \theta=0{,}308440693:
\theta^2\approx 0{,}095114,\quad \theta^3\approx 0{,}029320,\quad \theta^5\approx 0{,}002789.
\sin(6{,}591626)\approx 0{,}308440693-\frac{0{,}029320}{6}+\frac{0{,}002789}{120}\approx 0{,}308440693-0{,}004887+0{,}000023\approx 0{,}303577.
\cos(6{,}591626)\approx 1-\frac{0{,}095114}{2}+\frac{0{,}009048}{24}\approx 1-0{,}047557+0{,}000377\approx 0{,}952820.
Agora f e f':
f(6{,}591626)=2\cdot 6{,}591626\cdot 0{,}303577-4\approx 13{,}183252\cdot 0{,}303577-4\approx 4{,}002136-4\approx 0{,}002136.
f'(6{,}591626)=2\cdot 0{,}303577+2\cdot 6{,}591626\cdot 0{,}952820\approx 0{,}607154+13{,}183252\cdot 0{,}952820\approx 0{,}607154+12{,}56130\approx 13{,}16845.
Aplicando Newton:
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx 6{,}591626-\frac{0{,}002136}{13{,}16845}\approx 6{,}591626-0{,}000162\approx 6{,}591464.
Calculemos a diferença entre iterações:
\lvert x_2-x_1\rvert\approx 0{,}000162.
Como \lvert x_2-x_1\rvert\leq 0{,}000162<\varepsilon=0{,}001, atingimos a precisão exigida. (Se quiséssemos, poderíamos fazer mais uma iteração para verificar que f(x_2) é muito próximo de zero; aqui já estamos dentro da tolerância pedida.)

Passo 7

Interpretação final e validade: a sequência convergiu rapidamente (convergência quadrática típica do método de Newton quando a aproximação inicial é boa). A aproximação final x_2\approx 6{,}591464 tem variação menor que 10^{-3} em relação à iteração anterior, portanto atende ao requisito de precisão \varepsilon\leq 10^{-3}. Isso significa que podemos tomar x_2 como a raiz positiva pedida com a precisão requerida.

Resposta

\;x\approx 6{,}591464

Exercícios relacionados