E5: Determine uma raiz positiva de
com precisão de
, usando o método de Newton.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma raiz positiva da função
com precisão
usando o método de Newton.
Informações dadas:
Informações dadas:
método exigido: método de Newton (iterações de Newton).
Passo 2
O que é o método de Newton (explicação didática, sem pular etapas).
O método de Newton procura uma raiz de construindo uma sequência
definida por
O método de Newton procura uma raiz de
Intuição: numa iteração aproximamos
por sua reta tangente em
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
. Para aplicar precisamos calcular
e
em cada passo. Como critério de parada usaremos a condição
, que garante que a aproximação mudou menos que a precisão desejada.
Passo 3
Calcular a derivada
(aqui ensino a regra usada).
Temos . A constante
some na derivada. Para derivar
usamos a regra do produto: se
e
, então
. Aqui
e
. Portanto
Temos
Explicando: a primeira parcela vem de
(derivada de
multiplicada por
) e a segunda de
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 4
Escolha do chute inicial
(explicação e estimação da localização da raiz).
Queremos a raiz positiva de , isto é
. Observações rápidas para localizar a raiz:
Queremos a raiz positiva de
- Em
tem-se e . Testando valores: em temos , logo não é solução; o produto atinge valores menores que nesse primeiro intervalo. - Em
temos e então . Em temos e então . Portanto, por continuidade existe pelo menos uma raiz em , ou seja em . - Fazendo avaliações rápidas: em
temos e (negativo). Em (cálculo mais abaixo) obtemos (positivo). Logo há raiz entre e . Isso sugere escolher um chute inicial próximo de . Vou usar
pois já está bem próximo da raiz e tornará o método rápido (convergência quadrática típica quando a aproximação inicial é razoável).
Passo 5
Primeira iteração: calcular
,
e
com detalhes numéricos (mostro como obter seno e cosseno reduzindo o ângulo).
Para calcular e
é prático reduzir pelo múltiplo inteiro de
:
. Usamos a série de Taylor truncada para estimar seno e cosseno neste ângulo pequeno (explico por que): para
pequeno,
Para calcular
esses termos já dão precisão suficiente aqui.
Com :
Com
Logo
Agora computamos
e
:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 6
Segunda iteração: calcular
,
e
com detalhes.
Reduzimos novamente o ângulo: . Usando as séries (mesma ideia que antes) com
:
Reduzimos novamente o ângulo:
Agora
e
:
Aplicando Newton:
Calculemos a diferença entre iterações:
Como
, atingimos a precisão exigida. (Se quiséssemos, poderíamos fazer mais uma iteração para verificar que
é muito próximo de zero; aqui já estamos dentro da tolerância pedida.)
Passo 7
Interpretação final e validade: a sequência convergiu rapidamente (convergência quadrática típica do método de Newton quando a aproximação inicial é boa). A aproximação final
tem variação menor que
em relação à iteração anterior, portanto atende ao requisito de precisão
. Isso significa que podemos tomar
como a raiz positiva pedida com a precisão requerida.