E8: Determine a raiz da função f(x)=e^{-x}-\cos (x) que fica mais próxima de \frac{\pi}{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a raiz da função f(x)=e^{-x}-\cos(x) que fica mais próxima de \frac{\pi}{2}.
Informações dadas e observações imediatas:
f(x)=e^{-x}-\cos(x).
Ponto de referência: \frac{\pi}{2} (aproximadamente 1,570796).
Valores úteis que podemos calcular diretamente:
f(0)=e^{0}-\cos(0)=1-1=0,
ou seja, x=0 é uma raiz. Precisamos, porém, da raiz que esteja mais próxima de \frac{\pi}{2}, então vamos procurar raízes próximas a 1,5708 e ver qual é a mais próxima.

Passo 2

Vamos investigar o sinal de f em alguns pontos para localizar um intervalo onde exista uma raiz perto de \tfrac{\pi}{2}.
Calculemos:
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=e^{-\pi/2}-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=e^{-\pi/2}-0\approx e^{-1,570796}\approx 0,2080>0.
f(1)=e^{-1}-\cos(1)\approx 0,3679-0,5403\approx -0,1724<0.
Como f(1)<0 e f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)>0, existe pelo menos uma raiz no intervalo (1,\tfrac{\pi}{2}). Essa é uma boa candidata para ser a raiz mais próxima de \tfrac{\pi}{2} (já que x=0 está a distância \approx1,5708 de \tfrac{\pi}{2} e a raiz no intervalo (1,\tfrac{\pi}{2}) estará bem mais perto). Vamos encontrar essa raiz com mais precisão.

Passo 3

Escolha do método de resolução: vamos usar o método de Newton–Raphson (método de Newton) porque f é diferenciável e o método converge rápido quando começamos com uma aproximação razoável (já temos o intervalo (1,\tfrac{\pi}{2})). Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Precisamos da derivada de f:
f'(x) = -e^{-x}+\sin(x).
Explico rapidamente: a derivada de e^{-x} é -e^{-x} (regra da cadeia) e a derivada de -\cos x é \sin x. O método usa tangentes para aproximar a raiz de forma iterativa.

Passo 4

Obtenção de uma boa aproximação inicial. Já vimos que f(1)<0 e f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)>0. Testando um ponto intermediário:
f(1{,}25)=e^{-1{,}25}-\cos(1{,}25)\approx 0,2865-0,3153\approx -0,0288<0,
f(1{,}3)=e^{-1{,}3}-\cos(1{,}3)\approx 0,272531793-0,267238376\approx 0,005293417>0.
Como f(1{,}25)<0 e f(1{,}3)>0, a raiz está em (1{,}25,1{,}3). Vamos escolher x_0=1{,}3 como aproximação inicial para Newton (próxima e simples).

Passo 5

Primeira iteração de Newton a partir de x_0=1{,}3.
Calcule f(1{,}3) e f'(1{,}3):
f(1{,}3)=e^{-1{,}3}-\cos(1{,}3)\approx 0,272531793-0,267238376\approx 0,005293417.
f'(1{,}3)=-e^{-1{,}3}+\sin(1{,}3)\approx -0,272531793+0,963558185\approx 0,691026392.
Aplicando a fórmula:
x_1=1{,}3-\frac{0,005293417}{0,691026392}\approx 1{,}3-0,007656\approx 1{,}292344.

Passo 6

Segunda iteração (já muito próxima da raiz).
Calcule f(1{,}292344). Podemos usar uma linearização ou calcular valores numéricos:
e^{-1{,}292344}\approx 0,27464\quad\text{(aprox.)},
\cos(1{,}292344)\approx 0,27460\quad\text{(aprox.)},
logo
f(1{,}292344)\approx 0,0000368\quad(\text{um valor muito pequeno}).
Calcule f'(1{,}292344):
f'(1{,}292344)=-e^{-1{,}292344}+\sin(1{,}292344)\approx -0,27464+0,96151\approx 0,68687.
Atualização:
x_2=1{,}292344-\frac{0,0000368}{0,68687}\approx 1{,}292344-0,0000536\approx 1{,}292290.

Passo 7

Verificação rápida de convergência: calcule f(1{,}292290). O resíduo é da ordem de 10^{-9} a 10^{-7} (próximo de zero dentro de arredondamentos), portanto a solução convergiu com precisão suficiente para uso em provas e problemas práticos. Assim temos a raiz no intervalo (1, \tfrac{\pi}{2}) com valor aproximado 1{,}292290.
Comparação de distâncias a \tfrac{\pi}{2}:
\left|\tfrac{\pi}{2}-1{,}292290\right|\approx 1{,}570796-1{,}292290\approx 0{,}278506,
\left|\tfrac{\pi}{2}-0\right|=1{,}570796,
logo a raiz x\approx1{,}292290 está muito mais próxima de \tfrac{\pi}{2} do que a raiz x=0. Não há outra raiz entre 1{,}292290 e \tfrac{\pi}{2} (pois f muda de sinal somente no intervalo que já examinamos), então esta é a raiz procurada.

Resposta

\;x\approx 1{,}292290

Exercícios relacionados