E8: Determine a raiz da função f(x)=e^{-x}-\cos (x) que fica mais próxima de \frac{\pi}{2}
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a raiz da função f(x)=e^{-x}-\cos(x) que fica mais próxima de \frac{\pi}{2}.
Informações dadas e observações imediatas:
f(x)=e^{-x}-\cos(x).
Ponto de referência: \frac{\pi}{2} (aproximadamente 1,570796).
Valores úteis que podemos calcular diretamente:
f(0)=e^{0}-\cos(0)=1-1=0,
ou seja, x=0 é uma raiz. Precisamos, porém, da raiz que esteja mais próxima de \frac{\pi}{2}, então vamos procurar raízes próximas a 1,5708 e ver qual é a mais próxima.
Passo 2
Vamos investigar o sinal de f em alguns pontos para localizar um intervalo onde exista uma raiz perto de \tfrac{\pi}{2}.
Como f(1)<0 e f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)>0, existe pelo menos uma raiz no intervalo (1,\tfrac{\pi}{2}). Essa é uma boa candidata para ser a raiz mais próxima de \tfrac{\pi}{2} (já que x=0 está a distância \approx1,5708 de \tfrac{\pi}{2} e a raiz no intervalo (1,\tfrac{\pi}{2}) estará bem mais perto). Vamos encontrar essa raiz com mais precisão.
Passo 3
Escolha do método de resolução: vamos usar o método de Newton–Raphson (método de Newton) porque f é diferenciável e o método converge rápido quando começamos com uma aproximação razoável (já temos o intervalo (1,\tfrac{\pi}{2})). Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Precisamos da derivada de f:
f'(x) = -e^{-x}+\sin(x).
Explico rapidamente: a derivada de e^{-x} é -e^{-x} (regra da cadeia) e a derivada de -\cos x é \sin x. O método usa tangentes para aproximar a raiz de forma iterativa.
Passo 4
Obtenção de uma boa aproximação inicial. Já vimos que f(1)<0 e f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)>0. Testando um ponto intermediário:
Verificação rápida de convergência: calcule f(1{,}292290). O resíduo é da ordem de 10^{-9} a 10^{-7} (próximo de zero dentro de arredondamentos), portanto a solução convergiu com precisão suficiente para uso em provas e problemas práticos. Assim temos a raiz no intervalo (1, \tfrac{\pi}{2}) com valor aproximado 1{,}292290.
logo a raiz x\approx1{,}292290 está muito mais próxima de \tfrac{\pi}{2} do que a raiz x=0. Não há outra raiz entre 1{,}292290 e \tfrac{\pi}{2} (pois f muda de sinal somente no intervalo que já examinamos), então esta é a raiz procurada.