E3: Use o método da Falsa Posição para calcular uma raiz de f(x)=\exp (x)+x no intervalo [-1,0] com precisão de \varepsilon \leq 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método da Falsa Posição para calcular uma raiz de f(x)=\exp(x)+x no intervalo [-1,0] com precisão \varepsilon \leq 10^{-3}.\n
Dados fornecidos:
\;f(x)=\exp(x)+x, intervalo inicial \;[a_0,b_0]=[-1,0], e tolerância \;\varepsilon=10^{-3}.

Passo 2

Vou explicar o método da Falsa Posição (regula falsi) de forma didática e mostrar a fórmula que vamos usar. Imagine que temos um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos. A ideia é aproximar a curva por uma reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação da raiz.
Equação da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)):
y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Interseção com o eixo y=0 (ou seja, resolver y=0 para x) dá a fórmula da Falsa Posição:
x_{\text{novo}} = \frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Nesta fórmula:
  • a e b são as extremidades atuais do intervalo que contêm a raiz,
  • f(a) e f(b) são os valores da função nesses pontos,
  • x_{\text{novo}} é a nova aproximação da raiz (a interseção da reta com o eixo x).
Observação útil para este problema: como o extremo direito do intervalo é b=0 e f(0)=1 (veja próximo passo), a fórmula simplifica bastante:
x_{\text{novo}} = \frac{a\cdot f(b)-0\cdot f(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{a\cdot 1}{1 - f(a)} = \frac{a}{1 - f(a)}.
Isso acelera os cálculos: a cada iteração, se mantivermos b=0, basta conhecer a e f(a) para calcular x_{\text{novo}}.
Critério de parada (escolha e justificativa): o enunciado pede precisão \varepsilon\leq 10^{-3}. Vou adotar como critério de parada o valor absoluto da função na aproximação, isto é,
|f(x_{\text{novo}})| \le 10^{-3}.
Justifico: para funções contínuas e com derivada não muito pequena na vizinhança da raiz (aqui f'(x)=\exp(x)+1>0), um pequeno valor de |f(x)| implica que x está perto da raiz. Esse critério é prático e comum em exercícios como este. (Outra opção seria exigir |x_{\text{novo}}-x_{\text{ant}}|\le 10^{-3}; ambas são razoáveis, mas uso |f(x)| para parar mais seguro em relação ao objetivo do enunciado.)

Passo 3

Primeira avaliação dos extremos e primeira iteração.
Calculo os valores iniciais (uso aproximações decimais suficientes para o procedimento manual):
f(-1)=\exp(-1)+(-1)=\exp(-1)-1\approx 0,3678794412-1=-0,6321205588.
f(0)=\exp(0)+0=1+0=1.
Como f(-1)<0 e f(0)>0, há uma raiz em [-1,0].
Aplicando a fórmula simplificada para a=-1:
x_1=\frac{a}{1-f(a)}=\frac{-1}{1-(-0,6321205588)}=\frac{-1}{1,6321205588}\approx -0,612699.
Agora avalio f(x_1):
Para x_1\approx -0,612699 tenho
f(x_1)=\exp(-0,612699)-0,612699\approx 0,54189147-0,612699 \approx -0,0708075.
Conclusão desta iteração: f(x_1)<0, mesmo sinal que f(a). Portanto a raiz está no intervalo [x_1,b]=[-0,612699,\,0]. Vou atualizar a\leftarrow x_1.

Passo 4

Segunda iteração (com b=0 e a=-0,612699).
Uso novamente a fórmula simplificada:
x_2=\frac{a}{1-f(a)}=\frac{-0,612699}{1-(-0,0708075)}=\frac{-0,612699}{1,0708075}\approx -0,571998.
Avalio f(x_2). Para x_2\approx -0,571998:
f(x_2)=\exp(-0,571998)-0,571998\approx 0,56440317-0,571998\approx -0,0075948.
Resultado: f(x_2)\approx -0,0075948 (ainda negativo, mas já bem menor em magnitude). Atualizo a\leftarrow x_2.

Passo 5

Terceira iteração.
Com a=-0,571998 e f(a)\approx -0,0075948, aplico a fórmula:
x_3=\frac{a}{1-f(a)}=\frac{-0,571998}{1-(-0,0075948)}=\frac{-0,571998}{1,0075948}\approx -0,567687.
Avalio f(x_3). Para x_3\approx -0,567687:
f(x_3)=\exp(-0,567687)-0,567687\approx 0,566840-0,567687\approx -0,000847.
Agora |f(x_3)|\approx 8{,}47\times 10^{-4}\le 10^{-3}. Então o critério de parada escolhido ( |f(x)|\le 10^{-3}) está satisfeito: podemos parar aqui e aceitar x_3 como aproximação da raiz com a precisão pedida.
Breve comentário motivador: olha só — em três iterações já chegamos à precisão pedida. O método da Falsa Posição foi eficiente aqui porque b=0 forneceu uma simplificação conveniente e a função é bem comportada (monótona crescente).

Resposta

\;x \approx -0,567687

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