E3: Use o método da Falsa Posição para calcular uma raiz de
no intervalo
com precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método da Falsa Posição para calcular uma raiz de
no intervalo
com precisão
.\n
Dados fornecidos:
, intervalo inicial
, e tolerância
.
Dados fornecidos:
Passo 2
Vou explicar o método da Falsa Posição (regula falsi) de forma didática e mostrar a fórmula que vamos usar. Imagine que temos um intervalo
com
e
de sinais opostos. A ideia é aproximar a curva por uma reta que liga os pontos
e
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação da raiz.
Equação da reta que passa por
e
:
Interseção com o eixo
(ou seja, resolver
para
) dá a fórmula da Falsa Posição:
Nesta fórmula:
-
e são as extremidades atuais do intervalo que contêm a raiz, -
e são os valores da função nesses pontos, -
é a nova aproximação da raiz (a interseção da reta com o eixo ).
Observação útil para este problema: como o extremo direito do intervalo é
e
(veja próximo passo), a fórmula simplifica bastante:
Isso acelera os cálculos: a cada iteração, se mantivermos
, basta conhecer
e
para calcular
.
Critério de parada (escolha e justificativa): o enunciado pede precisão
. Vou adotar como critério de parada o valor absoluto da função na aproximação, isto é,
Justifico: para funções contínuas e com derivada não muito pequena na vizinhança da raiz (aqui
), um pequeno valor de
implica que
está perto da raiz. Esse critério é prático e comum em exercícios como este. (Outra opção seria exigir
; ambas são razoáveis, mas uso
para parar mais seguro em relação ao objetivo do enunciado.)
Passo 3
Primeira avaliação dos extremos e primeira iteração.
Calculo os valores iniciais (uso aproximações decimais suficientes para o procedimento manual):
Como
e
, há uma raiz em
.
Aplicando a fórmula simplificada para
:
Agora avalio
:
Para tenho
Para
Conclusão desta iteração:
, mesmo sinal que
. Portanto a raiz está no intervalo
. Vou atualizar
.
Passo 4
Segunda iteração (com
e
).
Uso novamente a fórmula simplificada:
Avalio
. Para
:
Resultado:
(ainda negativo, mas já bem menor em magnitude). Atualizo
.
Passo 5
Terceira iteração.
Com
e
, aplico a fórmula:
Avalio
. Para
:
Agora
. Então o critério de parada escolhido (
) está satisfeito: podemos parar aqui e aceitar
como aproximação da raiz com a precisão pedida.
Breve comentário motivador: olha só — em três iterações já chegamos à precisão pedida. O método da Falsa Posição foi eficiente aqui porque
forneceu uma simplificação conveniente e a função é bem comportada (monótona crescente).