Determine as raízes da função
, usando um dos métodos vistos com
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as raízes da função
usando um dos métodos vistos e com tolerância
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função polinomial
de grau 3 com coeficientes numéricos. - A precisão desejada nas raízes é
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem ainda resolver):
Como é um polinômio de grau 3, uma abordagem eficiente é:
Como
- Procurar raízes “simples” testando valores inteiros/racionais (avaliação direta de
) — isso pode revelar raízes exatas. - Se uma raiz exata for encontrada, dividir o polinômio por
(divisão sintética ou algébrica) para reduzir o grau e resolver o polinômio resultante (um método algébrico exato, seguido da fórmula quadrática).
Essa combinação é mais direta e exata que aplicar somente um método numérico. Vou seguir esse caminho.
Passo 3
Testando valores simples para encontrar uma raiz inteira/óbvia: calcular
até achar sinal zero ou mudança de sinal. Mostrarei as contas passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Agrupando
e
, obtemos
Conclusão deste passo: foi encontrada uma raiz exata
, pois
.
Passo 4
Dividir
por
para reduzir o polinômio e encontrar as demais raízes. Vou fazer divisão sintética (procedimento prático para polinômios).
Coeficientes de
:
. Usando
:
- Baixa o
. - Multiplica
por : . Soma a -3,006: . - Multiplica
por : . Soma a : . - Multiplica
por : . Soma a : (resto nulo, como esperado).
Logo, o quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes
. Ou seja:
Passo 5
Agora resolver a equação quadrática
. Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Relembrando a fórmula e o significado das letras:
Se , as raízes são
Se
onde
,
,
são os coeficientes (aqui
). O discriminante é
.
Calcular
:
Calculemos termo a termo:
Portanto
A raiz quadrada do discriminante:
pois
.
Passo 6
Aplicar a fórmula das raízes:
Calcule as duas possibilidades:
- Com sinal
:
- Com sinal
:
Portanto as raízes da quadrática são
e
.
Passo 7
Juntando tudo: da divisão inicial já tínhamos uma raiz
, e a quadrática deu raízes
e
. Ou seja, a raiz
aparece duas vezes (multiplicidade 2) e há uma outra raiz
. Como a tolerância exigida é
, os valores
e
estão dentro da precisão pedida.
Como verificação rápida, pode-se calcular a derivada para confirmar multiplicidade:
. Avaliando em
,
o que confirma que
é raiz dupla.