Determine as raízes da função f(x)=0.2 x^{3}-3.006 x^{2}+15.06 x-25.15, usando um dos métodos vistos com \varepsilon=0.001.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da função
f(x)=0,2x^{3}-3,006x^{2}+15,06x-25,15
usando um dos métodos vistos e com tolerância \varepsilon=0,001.
Informações dadas:
  • A função polinomial f(x) de grau 3 com coeficientes numéricos.
  • A precisão desejada nas raízes é \varepsilon=0,001.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem ainda resolver):
Como f é um polinômio de grau 3, uma abordagem eficiente é:
  1. Procurar raízes “simples” testando valores inteiros/racionais (avaliação direta de f(x)) — isso pode revelar raízes exatas.
  2. Se uma raiz exata for encontrada, dividir o polinômio por (x-x_0) (divisão sintética ou algébrica) para reduzir o grau e resolver o polinômio resultante (um método algébrico exato, seguido da fórmula quadrática).
    Essa combinação é mais direta e exata que aplicar somente um método numérico. Vou seguir esse caminho.

Passo 3

Testando valores simples para encontrar uma raiz inteira/óbvia: calcular f(0),f(1),\dots,f(5) até achar sinal zero ou mudança de sinal. Mostrarei as contas passo a passo.
Calcular f(0):
f(0)= -25,15.
Calcular f(1):
f(1)=0,2-3,006+15,06-25,15=15,26-3,006-25,15=12,254-25,15=-12,896.
Calcular f(2):
f(2)=0,2\cdot 8 -3,006\cdot 4 +15,06\cdot 2 -25,15
=1,6-12,024+30,12-25,15=31,72-12,024-25,15=19,696-25,15=-5,454.
Calcular f(3):
f(3)=0,2\cdot 27 -3,006\cdot 9 +15,06\cdot 3 -25,15
=5,4-27,054+45,18-25,15=50,58-27,054-25,15=23,526-25,15=-1,624.
Calcular f(4):
f(4)=0,2\cdot 64 -3,006\cdot 16 +15,06\cdot 4 -25,15
=12,8-48,096+60,24-25,15=73,04-48,096-25,15=24,944-25,15=-0,206.
Calcular f(5):
f(5)=0,2\cdot 125 -3,006\cdot 25 +15,06\cdot 5 -25,15
=25-75,15+75,3-25,15.
Agrupando 25+75,3=100,3 e -75,15-25,15=-100,3, obtemos
f(5)=100,3-100,3=0.
Conclusão deste passo: foi encontrada uma raiz exata x=5, pois f(5)=0.

Passo 4

Dividir f(x) por (x-5) para reduzir o polinômio e encontrar as demais raízes. Vou fazer divisão sintética (procedimento prático para polinômios).
Coeficientes de f: 0,2,\; -3,006,\; 15,06,\; -25,15. Usando x_0=5:
  • Baixa o 0,2.
  • Multiplica 0,2 por 5: 0,2\cdot 5=1,0. Soma a -3,006: -3,006+1,0=-2,006.
  • Multiplica -2,006 por 5: -2,006\cdot 5=-10,03. Soma a 15,06: 15,06-10,03=5,03.
  • Multiplica 5,03 por 5: 5,03\cdot 5=25,15. Soma a -25,15: -25,15+25,15=0 (resto nulo, como esperado).
Logo, o quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes 0,2,\; -2,006,\; 5,03. Ou seja:
g(x)=0,2x^{2}-2,006x+5,03.

Passo 5

Agora resolver a equação quadrática g(x)=0. Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Relembrando a fórmula e o significado das letras:
Se ax^{2}+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes (aqui a=0,2,\; b=-2,006,\; c=5,03). O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac.
Calcular \Delta:
\Delta = (-2,006)^{2} - 4\cdot 0,2\cdot 5,03.
Calculemos termo a termo:
(-2,006)^{2}=2,006^{2}=4,024036.
4\cdot 0,2\cdot 5,03 =0,8\cdot 5,03=4,024.
Portanto
\Delta =4,024036-4,024=0,000036.
A raiz quadrada do discriminante:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{0,000036}=0,006,
pois 0,006^{2}=0,000036.

Passo 6

Aplicar a fórmula das raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2,006)\pm 0,006}{2\cdot 0,2}=\frac{2,006\pm 0,006}{0,4}.
Calcule as duas possibilidades:
  1. Com sinal +:
x_{1}=\frac{2,006+0,006}{0,4}=\frac{2,012}{0,4}=5,03.
  1. Com sinal -:
x_{2}=\frac{2,006-0,006}{0,4}=\frac{2,000}{0,4}=5,00.
Portanto as raízes da quadrática são x=5,00 e x=5,03.

Passo 7

Juntando tudo: da divisão inicial já tínhamos uma raiz x=5, e a quadrática deu raízes x=5,00 e x=5,03. Ou seja, a raiz x=5 aparece duas vezes (multiplicidade 2) e há uma outra raiz x=5,03. Como a tolerância exigida é \varepsilon=0,001, os valores 5,000 e 5,030 estão dentro da precisão pedida.
Como verificação rápida, pode-se calcular a derivada para confirmar multiplicidade: f'(x)=0,6x^{2}-6,012x+15,06. Avaliando em x=5,
f'(5)=0,6\cdot 25 -6,012\cdot 5 +15,06=15-30,06+15,06=0,
o que confirma que x=5 é raiz dupla.

Resposta

x=5
x=5,03

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