(IME) Sendo
e
e
, determine todos os pares
, tais que
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
. -
.
A pergunta é: determinar todos os pares
tais que
. Ou seja, achar todas as partes real e imaginária dos números complexos que pertencem simultaneamente a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma descrição prática das raízes da unidade (sem jargão técnico demais): os elementos de
são os oitoors de unidade e podem ser escritos como
porque
satisfaz
. De modo análogo, os elementos de
são
Passo 3
Para caracterizar
usamos a ideia de ordem comum: se
então
e
. Isso implica que a ordem de
divide tanto
quanto
, logo divide
. Calculamos
Uma maneira simples de ver que
quando
é usar uma combinação linear inteira (identidade de Bézout): existem inteiros
e
tais que
. Então, para
,
Assim todo elemento de
satisfaz
.
Reciprocamente, se
então
e
, logo
pertence a ambos
e
. Portanto
isto é,
é exatamente o conjunto das quartas raízes da unidade.
Passo 4
As quartas raízes da unidade têm a forma
Podemos escrever cada
em termos de cosseno e seno:
Agora avaliamos para cada
:
- Para
: , , logo . - Para
: , , logo . - Para
: , , logo . - Para
: , , logo .
Esses são todos os elementos de
.