(IME) Sendo H=\left\{z \in \mathbb{C} ; z^{8}=1\right\} e G=\left\{z \in \mathbb{C} ; z^{12}=1\right\} e S=G \cap H, determine todos os pares \left(a_{m}, b_{m}\right) \in \mathbb{R}^{2}, tais que a_{m}+i \cdot b_{m} \in S.

Passo 1

O enunciado dá:
  • H=\{z\in\mathbb{C} \mid z^{8}=1\}.
  • G=\{z\in\mathbb{C} \mid z^{12}=1\}.
  • S=G\cap H.
A pergunta é: determinar todos os pares \left(a_{m},b_{m}\right)\in\mathbb{R}^{2} tais que a_{m}+i\,b_{m}\in S. Ou seja, achar todas as partes real e imaginária dos números complexos que pertencem simultaneamente a H e a G.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma descrição prática das raízes da unidade (sem jargão técnico demais): os elementos de H são os oitoors de unidade e podem ser escritos como
z = e^{2\pi i \frac{k}{8}},\qquad k=0,1,\dots,7,
porque e^{2\pi i k/8} satisfaz (e^{2\pi i k/8})^{8}=e^{2\pi i k}=1. De modo análogo, os elementos de G são
z = e^{2\pi i \frac{j}{12}},\qquad j=0,1,\dots,11.

Passo 3

Para caracterizar S=H\cap G usamos a ideia de ordem comum: se z\in S então z^{8}=1 e z^{12}=1. Isso implica que a ordem de z divide tanto 8 quanto 12, logo divide \gcd(8,12). Calculamos
\gcd(8,12)=4.
Uma maneira simples de ver que z^{4}=1 quando z\in S é usar uma combinação linear inteira (identidade de Bézout): existem inteiros u=-1 e v=1 tais que 8u+12v=4. Então, para z\in S,
z^{4}=z^{8u+12v}=(z^8)^u (z^{12})^v = 1^u\cdot 1^v = 1.
Assim todo elemento de S satisfaz z^{4}=1.
Reciprocamente, se z^{4}=1 então (z^{4})^{2}=z^{8}=1 e (z^{4})^{3}=z^{12}=1, logo z pertence a ambos H e G. Portanto
S=\{z\in\mathbb{C}\mid z^{4}=1\},
isto é, S é exatamente o conjunto das quartas raízes da unidade.

Passo 4

As quartas raízes da unidade têm a forma
z_m = e^{2\pi i \frac{m}{4}},\qquad m=0,1,2,3.
Podemos escrever cada z_m em termos de cosseno e seno:
z_m = \cos\!\left(2\pi\frac{m}{4}\right) + i\,\sin\!\left(2\pi\frac{m}{4}\right).
Agora avaliamos para cada m:
  • Para m=0: \cos(0)=1, \sin(0)=0, logo z_0=1+ i\cdot 0.
  • Para m=1: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, logo z_1=0+ i\cdot 1.
  • Para m=2: \cos(\pi)=-1, \sin(\pi)=0, logo z_2=-1+ i\cdot 0.
  • Para m=3: \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0, \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1, logo z_3=0+ i\cdot(-1).
Esses são todos os elementos de S.

Resposta

(a_1,b_1) = (1,0)
(a_2,b_2) = (0,1)
(a_3,b_3) = (-1,0)
(a_4,b_4) = (0,-1)

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