a. Determine as raízes do polinômio f(X)=X^4+2 X^2-X+3 in Z5[X].
b. Sem fazer contas e utilizando o item a, determine os polinômios mônicos de grau 1 que dividem f(X).

Passo 1

O enunciado pede as raízes de
f(X)=X^4+2X^2-X+3inZ5[X]
que são exatamente os elementos ain0,1,2,3,4 tais que f(a)=0 em Z5. Em seguida, usando essas raízes, determinamos os polinômios mônicos de grau 1 que dividem f(X).

Passo 2

Calculamos f(a) em Z5 para cada ain0,1,2,3,4. O resultado relevante é:
f(1)=1+2-1+3=5equiv0, f(2)=16+8-2+3=25equiv0,
para a=1,2 temos raiz, enquanto para a=0,3,4 obtemos valores 3,4,2 respectivamente, não nulos.

Passo 3

Da avaliação anterior concluímos que as únicas raízes de f(X) em Z5 são 1 e 2.

Passo 4

Sabendo que, num corpo, X-a divide um polinômio se e somente se a é raiz, os polinômios mônicos de grau 1 que dividem f(X) são
X-1e X-2

Resposta

As raízes de f(X) em Z5 são 1 e 2. Os polinômios mônicos de grau 1 que dividem f(X) são X-1 e X-2.

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