Determine as raízes quadradas de:
i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os complexos z tais que
z^2 = i.
O conteúdo envolvido é representação de números complexos em forma polar e uso da fórmula de De Moivre para extrair raízes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos i em forma polar. Como
i = 0 + 1\,i,
temos módulo
r = |i| = 1
e argumento principal
\theta = \arg(i) = \frac{\pi}{2}.
Logo
i = e^{i\frac{\pi}{2}}.

Passo 3

Para achar as raízes quadradas de i, usamos a fórmula geral: se
i = r\,e^{i\theta},
então as raízes de ordem 2 são
z_k = \sqrt{r}\;e^{i\frac{\theta + 2\pi k}{2}} \quad\text{para }k=0,1.
Aqui \sqrt{r} = 1 e \theta = \frac{\pi}{2}, logo
z_k = e^{\,i\bigl(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2}\bigr)} = e^{\,i\bigl(\frac{\pi}{4} + \pi k\bigr)}.

Passo 4

Agora avaliamos para k=0 e k=1:
z_0 = e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2}}{2},
z_1 = e^{i\bigl(\frac{\pi}{4} + \pi\bigr)} = e^{i\frac{5\pi}{4}} = \cos\!\Bigl(\frac{5\pi}{4}\Bigr) + i\sin\!\Bigl(\frac{5\pi}{4}\Bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\,\frac{\sqrt{2}}{2}

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