Determine o resto da divisão de f(x) por g(x), sem efetuar a divisão:
f(x)=x^{8}-x^{7}-2 x^{5}, \quad g(x)=x-\sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
f(x)=x^{8}-x^{7}-2x^{5}
por
g(x)=x-\sqrt{3}.
O conteúdo aqui é o Teorema do Resto para polinômios, que diz que, se dividimos um polinômio f(x) por x-r, o resto é f(r).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, como g(x)=x-\sqrt{3}, temos r=\sqrt{3} e o resto da divisão é
R = f\bigl(\sqrt{3}\bigr).

Passo 3

Vamos calcular as potências necessárias de \sqrt{3}:
(\sqrt{3})^{2}=3,\quad (\sqrt{3})^{4}=3^{2}=9,\quad (\sqrt{3})^{8}=9^{2}=81,
(\sqrt{3})^{5}=(\sqrt{3})^{4}\cdot\sqrt{3}=9\sqrt{3},\quad (\sqrt{3})^{7}=(\sqrt{3})^{6}\cdot\sqrt{3}=(3^{3})\sqrt{3}=27\sqrt{3}.

Passo 4

Substituindo em f(x):
f\bigl(\sqrt{3}\bigr) =(\sqrt{3})^{8} - (\sqrt{3})^{7} -2(\sqrt{3})^{5} =81 -27\sqrt{3} -2\bigl(9\sqrt{3}\bigr) =81 -27\sqrt{3} -18\sqrt{3} =81 -45\sqrt{3}.

Resposta

81 - 45\sqrt{3}

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