Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2 x-4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes racionais de
f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x-4
e, sempre que possível, escrever f(x) como produto de fatores lineares. Vamos usar o Teorema das raízes racionais e divisão de polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema das raízes racionais, os candidatos são os divisores de -4 (constante) sobre divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja \pm1,\pm2,\pm4. Vamos avaliar:
f(1)=1+2-2-4=-3,\quad f(-1)=-1+2+2-4=-1,
f(2)=8+8-4-4=8,\quad f(-2)=-8+8+4-4=0,
f(4)=64+32-8-4=84,\quad f(-4)=-64+32+8-4=-28.
A única avaliação que dá zero é f(-2)=0, logo a única raiz racional é x=-2.

Passo 3

Agora dividimos f(x) por (x+2). Pela divisão sintética com coeficientes 1,2,-2,-4 e raiz -2, obtemos como quociente
x^{2}-2.
Logo
f(x)=(x+2)\,(x^{2}-2).

Passo 4

O fator x^{2}-2 não tem raízes racionais, mas pode ser escrito em fatores lineares com raízes reais:
x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).
Portanto, a fatoração completa em fatores lineares é
f(x)=(x+2)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).

Resposta

A única raiz racional de f(x) é -2.
Como produto de fatores lineares:
f(x)=(x+2)(x^{2}-2) \quad\text{e}\quad f(x)=(x+2)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).

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