Mostre que \log \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\log \left(z_{1}\right)-\log \left(z_{2}\right) \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \backslash\{0\} (no sentido da igualdade de conjuntos).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \log\!\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\log\!\left(z_{1}\right)-\log\!\left(z_{2}\right) para todos z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}\setminus\{0\}, entendendo \log como a função logaritmo complexo multivalorada. As informações dadas são apenas que z_{1} e z_{2} são complexos não nulos. Não há outras hipóteses (por exemplo, não se pede usar uma única determinação do argumento).

Passo 2

Definição e notação do logaritmo complexo (multivalorado). Para z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} definimos
\log z=\{\ln|z|+i(\arg z+2\pi k)\;:\;k\in\mathbb{Z}\}.
Aqui explico cada coisa:
  • \ln|z| é o logaritmo natural (real) do módulo |z|. É um número real.
  • \arg z representa um argumento de z, isto é, um ângulo real tal que z=|z|e^{i\arg z}. Qualquer escolha de \arg z difere de outra por um múltiplo de 2\pi.
  • O conjunto acima pega essa escolha de argumento e adiciona todos os múltiplos de 2\pi (variando k\in\mathbb{Z}), gerando todas as possíveis determinações complexas do logaritmo de z.
    Essa é a definição padrão do logaritmo multivalorado que vamos usar.

Passo 3

Propriedades elementares de módulo e argumento que vamos usar. Para z_1,z_2\in\mathbb{C}\setminus\{0\} valem:
|z_1/z_2|=\frac{|z_1|}{|z_2|}
e, quanto ao argumento,
\arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\equiv\arg z_1-\arg z_2\pmod{2\pi}.
Explicação breve: a primeira vem da definição de módulo e divisão de complexos; a segunda é a propriedade de que a multiplicação soma argumentos e, portanto a divisão subtrai argumentos, ficando a igualdade de ângulos apenas módulo 2\pi (isto é, podem diferir por 2\pi vezes um inteiro).

Passo 4

Mostramos a inclusão \log\!\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)\subseteq\log z_{1}-\log z_{2}.
Tomemos um elemento arbitrário w\in\log\!\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right). Pela definição do log multivalorado existe k\in\mathbb{Z} tal que
w=\ln\!\left|\frac{z_1}{z_2}\right|+i\big(\arg\!\left(\tfrac{z_1}{z_2}\right)+2\pi k\big).
Usando as propriedades do passo anterior obtemos
w=\ln|z_1|-\ln|z_2|+i\big(\arg z_1-\arg z_2+2\pi k\big).
Agora examine o conjunto \log z_1-\log z_2. Um elemento qualquer dele tem a forma
\big(\ln|z_1|+i(\arg z_1+2\pi m)\big)-\big(\ln|z_2|+i(\arg z_2+2\pi n)\big)
com m,n\in\mathbb{Z}. Isso é
\ln|z_1|-\ln|z_2|+i\big(\arg z_1-\arg z_2+2\pi(m-n)\big).
Escolhendo m-n=k (por exemplo m=k, n=0) vemos que o w acima é exatamente desse tipo, logo w\in\log z_1-\log z_2. Como w foi arbitrário, a inclusão está provada.

Passo 5

Mostramos a inclusão contrária \log z_{1}-\log z_{2}\subseteq\log\!\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right).
Tomemos u\in\log z_1-\log z_2. Então existem m,n\in\mathbb{Z} tais que
u=\ln|z_1|-\ln|z_2|+i\big(\arg z_1-\arg z_2+2\pi(m-n)\big).
Defina t=m-n\in\mathbb{Z}. Então
u=\ln\!\left|\frac{z_1}{z_2}\right|+i\big(\arg\!\left(\tfrac{z_1}{z_2}\right)+2\pi t\big),
onde usei novamente as igualdades do passo 3. Mas a expressão do lado direito é exatamente a forma de um elemento de \log\!\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right) (com índice inteiro t). Assim u\in\log\!\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right). Como u foi arbitrário, a inclusão contrária está provada.

Passo 6

Concluímos a igualdade de conjuntos pelas duas inclusões:
\log\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\log z_1-\log z_2\quad\text{para todos }z_1,z_2\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.
Comentário didático final: o ponto essencial é que estamos lidando com o logaritmo multivalorado; se alguém usar uma única determinação do logaritmo (por exemplo a determinação principal) a igualdade pode falhar por um múltiplo de 2\pi i. Trabalhando com conjuntos de valores (como aqui), a propriedade de subtração de argumentos torna a igualdade verdadeira.

Resposta

\log\!\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\log\!\left(z_{1}\right)-\log\!\left(z_{2}\right)

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