Prove que para todos
e
vale que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer
e
, vale a identidade
Informações relevantes dadas: temos um número complexo
(os outros símbolos
estão mencionados no enunciado, mas a identidade a provar envolve apenas
). O objetivo é mostrar que a função
(hiperbólica tangente) é invariante ao adicionar
ao argumento.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a definição útil de
em termos da exponencial, que é a forma mais prática para manipular argumentos complexos. Por definição,
e usando as exponenciais temos
Portanto, para qualquer
,
Aqui
é a exponencial complexa usual, que satisfaz a propriedade
para quaisquer
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula acima com
. Usando
obtemos
Logo
Passo 4
Agora avaliamos
e
. Pela fórmula de Euler
, temos
e de modo idêntico
Portanto
.
Passo 5
Substituindo
na expressão do Passo 3 obtemos
Fatorando um
no numerador e no denominador:
A última expressão é justamente
, pela definição do Passo 2.
Passo 6
Concluímos, portanto, que para todo
vale
Isto mostra que
é periódica com período
no plano complexo.