Prove que para todos z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} e x, y \in \mathbb{R} vale que:
\operatorname{tgh}(z+i \pi)=\operatorname{tgh}(z).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} e x,y\in\mathbb{R}, vale a identidade
\operatorname{tgh}(z+i\pi)=\operatorname{tgh}(z).
Informações relevantes dadas: temos um número complexo z (os outros símbolos z_{1},z_{2},x,y estão mencionados no enunciado, mas a identidade a provar envolve apenas z). O objetivo é mostrar que a função \operatorname{tgh} (hiperbólica tangente) é invariante ao adicionar i\pi ao argumento.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a definição útil de \operatorname{tgh} em termos da exponencial, que é a forma mais prática para manipular argumentos complexos. Por definição,
\operatorname{tgh}(w)=\frac{\operatorname{sinh} w}{\operatorname{cosh} w}
e usando as exponenciais temos
\operatorname{sinh} w=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2},\qquad \operatorname{cosh} w=\frac{e^{w}+e^{-w}}{2}.
Portanto, para qualquer w\in\mathbb{C},
\operatorname{tgh}(w)=\frac{e^{w}-e^{-w}}{e^{w}+e^{-w}}.
Aqui e^{w} é a exponencial complexa usual, que satisfaz a propriedade e^{a+b}=e^{a}e^{b} para quaisquer a,b\in\mathbb{C}.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula acima com w=z+i\pi. Usando e^{a+b}=e^{a}e^{b} obtemos
e^{z+i\pi}=e^{z}e^{i\pi},\qquad e^{-z-i\pi}=e^{-z}e^{-i\pi}.
Logo
\operatorname{tgh}(z+i\pi)=\frac{e^{z+i\pi}-e^{-z-i\pi}}{e^{z+i\pi}+e^{-z-i\pi}} =\frac{e^{z}e^{i\pi}-e^{-z}e^{-i\pi}}{e^{z}e^{i\pi}+e^{-z}e^{-i\pi}}.

Passo 4

Agora avaliamos e^{i\pi} e e^{-i\pi}. Pela fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, temos
e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1+0i=-1,
e de modo idêntico
e^{-i\pi}=\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)=-1.
Portanto e^{i\pi}=e^{-i\pi}=-1.

Passo 5

Substituindo e^{i\pi}=e^{-i\pi}=-1 na expressão do Passo 3 obtemos
\operatorname{tgh}(z+i\pi)=\frac{e^{z}(-1)-e^{-z}(-1)}{e^{z}(-1)+e^{-z}(-1)} =\frac{-e^{z}+e^{-z}}{-e^{z}-e^{-z}}.
Fatorando um -1 no numerador e no denominador:
\operatorname{tgh}(z+i\pi)=\frac{-\bigl(e^{z}-e^{-z}\bigr)}{-\bigl(e^{z}+e^{-z}\bigr)} =\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}.
A última expressão é justamente \operatorname{tgh}(z), pela definição do Passo 2.

Passo 6

Concluímos, portanto, que para todo z\in\mathbb{C} vale
\operatorname{tgh}(z+i\pi)=\operatorname{tgh}(z).
Isto mostra que \operatorname{tgh} é periódica com período i\pi no plano complexo.

Resposta

\operatorname{tgh}(z+i \pi)=\operatorname{tgh}(z)

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