Determine, por redução de ordem, a segunda solução das equações abaixo.
t^{2} \ddot{y}+2 t \dot{y}=0, y_{1}(t)=1.

Passo 1

O enunciado pede a segunda solução de
t^{2}\ddot{y}+2t\dot{y}=0
sabendo que já temos y_{1}(t)=1.
O método é redução de ordem para equações lineares de segunda ordem homogêneas: a partir de y_{1} vamos achar y_{2}.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por t^{2} (supondo t\neq0):
\ddot{y}+\frac{2}{t}\dot{y}=0.
Aqui \displaystyle p(t)=\frac{2}{t} e \displaystyle q(t)=0.

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, se y_{1} é solução, então
y_{2}(t) = y_{1}(t)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int p(t)\,dt\bigr)}{y_{1}(t)^{2}}\,dt.

Passo 4

Calculamos primeiro
\exp\Bigl(-\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(-\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(-2\ln|t|\bigr) =t^{-2}.

Passo 5

Substituindo em y_{2}:
y_{2}(t) =1\cdot\int t^{-2}\,dt =\int t^{-2}\,dt =-\,t^{-1}+C.
Desprezamos a constante de integração (pois precisamos de uma solução linearmente independente), ficando
y_{2}(t)=t^{-1}.

Resposta

A segunda solução é
y_{2}(t)=\frac{1}{t}.

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