Sejam y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t|t|.
(a) Mostre que y_{1}, y_{2} são linearmente dependentes no intervalo [0,1].
(b) Mostre que y_{1}, y_{2} são linearmente dependentes no intervalo [-1,1].
(c) Mostre que W\left[y_{1}, y_{2}\right] é identicamente nulo.
(d) Mostre que y_{1} e y_{2} não podem nunca ser soluções de \ddot{y}+a(t) \dot{y}+b(t) y=0, no intervalo -1 \leq t \leq 1 se ambas as funções a(t) e b(t) forem contínuas neste intervalo.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle y_{1}(t)=t^{2} \displaystyle y_{2}(t)=t\lvert t\rvert
e pede quatro coisas:
  1. Mostrar que y_{1},y_{2} são linearmente dependentes em [0,1].
  2. Mostrar que y_{1},y_{2} são linearmente ______ em [-1,1].
  3. Calcular o wronskiano W[y_{1},y_{2}] e ver que ele é identicamente zero.
  4. Concluir que não existe equação da forma
\ddot y + a(t)\,\dot y + b(t)\,y = 0
com a,b contínuas em [-1,1] que tenha \emph{ambas} as funções como soluções.
Para resolver, vamos usar definição de dependência linear de funções, cálculo de derivadas e o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem.

Passo 2

(a) Em [0,1] temos \lvert t\rvert = t, logo
y_{2}(t)=t\lvert t\rvert = t\cdot t = t^{2} = y_{1}(t).
Isso mostra imediatamente que existe combinação não-trivial \;1\cdot y_{1}(t) -1\cdot y_{2}(t)=0
para todo t\in[0,1]. Portanto y_{1},y_{2} são linearmente dependentes em [0,1].

Passo 3

(b) Em [-1,1]\) temos \[\lvert t\rvert = \begin{cases} t, & t\ge0,\\\\ -\,t, & t<0, \end{cases}
logo
y_{2}(t)=t\lvert t\rvert = \begin{cases} t^{2}, & t\ge0,\\\\ -\,t^{2}, & t<0, \end{cases}
ou seja \;y_{2}(t)=y_{1}(t)\] para \(t\ge0
e \;y_{2}(t)=-\,y_{1}(t) para t<0.
Suponha que existam constantes \,c_{1},c_{2}, não ambas nulas, tais que
c_{1}\,y_{1}(t)+c_{2}\,y_{2}(t)\equiv0 \quad\text{em }[-1,1].
Para t>0 (c_{1}+c_{2})\,t^{2}=0\implies c_{1}+c_{2}=0,
e para t<0 (c_{1}-c_{2})\,t^{2}=0\implies c_{1}-c_{2}=0.
Dessas duas equações tiramos c_{1}=c_{2}=0.
Como só existe combinação trivial, y_{1},y_{2} são linearmente independentes em [-1,1].

Passo 4

(c) Vamos calcular o wronskiano
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\\ y_{1}'(t)& y_{2}'(t) \end{vmatrix} = y_{1}(t)\,y_{2}'(t) - y_{1}'(t)\,y_{2}(t).
Como y_{1}'(t)=2t\) e \[y_{2}'(t)= \begin{cases} 2t, & t>0,\\\\ -2t, & t<0, \end{cases}
então para t>0\]: \[W(t)=t^{2}\cdot(2t)- (2t)\cdot t^{2} =2t^{3}-2t^{3}=0,\] e para \(t<0:
W(t)=t^{2}\cdot(-2t)- (2t)\cdot(-t^{2}) =-2t^{3}+2t^{3}=0.
No ponto t=0 o limite também dá zero. Logo W(t)\equiv0 em [-1,1].

Passo 5

(d) Se existisse uma equação
\ddot y + a(t)\,\dot y + b(t)\,y = 0 \quad\text{com \(a,b\) contínuas em \([-1,1]\),}í
e se y_{1} e y_{2} fossem ambas soluções, elas satisfazem as mesmas condições iniciais em t=0:
y_{1}(0)=0,\quad y_{1}'(0)=0,
y_{2}(0)=0,\quad y_{2}'(0)=0
(veja que de ambos os lados a derivada de t|t| em 0 vale zero).
Pelo teorema de existência e unicidade para problema de valor inicial num ponto regular, a única solução que satisfaz \;y(0)=0,\;\dot y(0)=0
é a solução trivial y(t)\equiv0.
Mas y_{1} e y_{2} não são identicamente zero em [-1,1].
Isso é uma contradição, logo não pode haver essa EDO com ambas como soluções.

Resposta

(a) Em [0,1], y_{2}=y_{1}, logo são linearmente dependentes.
(b) Em [-1,1], só existe combinação trivial, logo são linearmente independentes.
(c) W[y_{1},y_{2}](t)\equiv0.
(d) Não existe EDO \ddot y+a(t)\dot y+b(t)y=0 com a,b contínuas em [-1,1] que tenha ambas como soluções.

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