Determine a solução geral de
\ddot{y}-4 \dot{y}+13 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}-4\dot{y}+13y=0.
O método mais direto é assumir uma solução-exponencial e usar a equação característica.

Passo 2

Suponha y(t)=e^{rt}. Então
\dot{y}=r\,e^{rt}, \quad \ddot{y}=r^2\,e^{rt}.
Substituindo na equação diferencial, cancelando o fator e^{rt}\neq0, vem a característica
r^2 - 4r + 13 = 0.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot13}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3i.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r=2\pm3i, a solução geral é da forma
y(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\bigr),
onde \alpha=2 e \beta=3. Portanto
y(t) = e^{2t}\bigl(C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)\bigr).

Resposta

y(t) = e^{2t}\bigl(C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)\bigr).

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