Determine, por redução de ordem, a segunda solução das equações abaixo.
\ddot{y}-2 \dot{y}+y=0, y_{1}(t)=e^{t}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
\ddot{y}-2\dot{y}+y=0
e fornece uma solução conhecida
y_{1}(t)=e^{t}.
Queremos, por redução de ordem, encontrar uma segunda solução independente y_{2}(t).

Passo 2

Para uma equação na forma padrão
\ddot y + P(t)\,\dot y + Q(t)\,y = 0
com P(t)=-2 e Q(t)=1, a técnica de redução de ordem diz que uma segunda solução pode ser obtida por
y_{2}(t) = y_{1}(t)\! \int \frac{e^{-\displaystyle\int P(t)\,dt}}{y_{1}(t)^{2}} \,dt.

Passo 3

Calculamos primeiro
\int P(t)\,dt=\int(-2)\,dt=-2t,
logo
e^{-\int P(t)\,dt}=e^{2t}, \quad y_{1}(t)^{2}=e^{2t},
então o integrando fica
\frac{e^{2t}}{e^{2t}}=1
e
\int1\,dt=t.
Portanto
y_{2}(t) = y_{1}(t)\cdot t = t\,e^{t}.

Resposta

y_{2}(t)=t\,e^{t}.

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