Determine a solução dos PVI’s:
\dot{y}+y=\frac{1}{1+t^{2}}, \quad y(1)=3

Passo 1

O PVI é \dot{y}+y=\frac{1}{1+t^{2}},
com condição inicial y(1)=3.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem; vamos usar fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{t}\dot{y}+e^{t}y = \frac{e^{t}}{1+t^{2}},
e o lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dt}(e^{t}y).

Passo 3

Escrevemos a forma exata da derivada e integramos:
\frac{d}{dt}(e^{t}y) = \frac{e^{t}}{1+t^{2}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados de t=1 até t:
e^{t}y - e^{1}y(1) \;=\; \int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds.
Como y(1)=3, fica
e^{t}y = 3e + \int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds.

Passo 5

Isolando y(t), a solução do PVI é
y(t) = e^{-t}\!\Biggl(3e + \int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds\Biggr).

Resposta

y(t) = e^{-t}\Bigl(3e + \int_{1}^{t}\frac{e^{s}}{1+s^{2}}\,ds\Bigr).

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