Determine a região em que cada função é contínua:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{|x|+|y|} & ,(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{|x|+|y|},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}
é contínua. O conteúdo envolve continuidade de quociente de funções em \mathbb{R}^2 e verificação de limite no ponto (0,0). Para resolver, vamos usar:
  1. Continuidade de quociente de funções contínuas com denominador não nulo.
  2. Definição de limite e desigualdades para mostrar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.]

Passo 2

Considere um ponto (x_0,y_0)\neq(0,0). Então
|x_0|+|y_0|>0,
logo o denominador de \frac{x\,y}{|x|+|y|} não se anula nessa reta. Como as funções x\mapsto x, y\mapsto y, (x,y)\mapsto|x| e (x,y)\mapsto|y| são contínuas, o quociente
(x,y)\;\longmapsto\;\frac{x\,y}{|x|+|y|}
é contínuo em todo ponto que não zera o denominador. Portanto, f é contínua em todo (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Vamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{|x|+|y|}.
Observe que
|f(x,y)| =\left|\frac{x\,y}{|x|+|y|}\right| =\frac{|x|\,|y|}{|x|+|y|} \le\min\bigl(|x|,|y|\bigr).
Como \min\bigl(|x|,|y|\bigr)\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).
Logo f é contínua também em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^2.

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