é contínua. O conteúdo envolve continuidade de quociente de funções em \mathbb{R}^2 e verificação de limite no ponto (0,0). Para resolver, vamos usar:
Continuidade de quociente de funções contínuas com denominador não nulo.
Definição de limite e desigualdades para mostrar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.]
Passo 2
Considere um ponto (x_0,y_0)\neq(0,0). Então
|x_0|+|y_0|>0,
logo o denominador de \frac{x\,y}{|x|+|y|} não se anula nessa reta. Como as funções x\mapsto x, y\mapsto y, (x,y)\mapsto|x| e (x,y)\mapsto|y| são contínuas, o quociente
(x,y)\;\longmapsto\;\frac{x\,y}{|x|+|y|}
é contínuo em todo ponto que não zera o denominador. Portanto, f é contínua em todo (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Resta verificar a continuidade em (0,0). Vamos calcular