Encontre uma parametrização da curva C obtida como interseção das superfícies S_{1} e S_{2}. Tente esboçar as superfícies e a curva interseção.
S_{1} com equação z^{2}=3 x^{2}+4 y^{2}, z \geq 0 e S_{2} com equação z^{2}+3 x^{2}+4 y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede a interseção da superfície cônica
S_{1}:\;z^{2}=3x^{2}+4y^{2},\quad z\ge0
com o elipsoide
S_{2}:\;z^{2}+3x^{2}+4y^{2}=1.
Vamos usar álgebra de quadráticas para encontrar a curva C e depois parametrizá-la.

Passo 2

De S_{2} isolamos
z^{2}=1-3x^{2}-4y^{2}
e de S_{1} temos
z^{2}=3x^{2}+4y^{2}.
Igualando os dois valores de z^{2} resulta
1-3x^{2}-4y^{2}=3x^{2}+4y^{2} \quad\Longrightarrow\quad 1=6x^{2}+8y^{2}.
Substituindo em z^{2}=3x^{2}+4y^{2} obtemos
z^{2}=\tfrac12,
e como z\ge0 segue
z=\frac1{\sqrt2}.

Passo 3

A curva C é portanto a elipse de equação
6x^{2}+8y^{2}=1
no plano horizontal z=1/\sqrt2. Para parametrizá-la, escrevemos a elipse no formato
\frac{x^{2}}{1/6}+\frac{y^{2}}{1/8}=1.

Passo 4

Usando t\in[0,2\pi), tomamos
x=\sqrt{\tfrac{1}{6}}\cos t,\qquad y=\sqrt{\tfrac{1}{8}}\sin t,\qquad z=\frac1{\sqrt2}.

Resposta

Uma parametrização de C é
\boxed{ \mathbf r(t)=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt6}\cos t,\;\tfrac{1}{2\sqrt2}\sin t,\;\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr), \quad t\in[0,2\pi). }

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