Determine a região em que cada função é contínua:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Queremos determinar onde f é contínua. Note que fora da origem a expressão é razão de polinômios com denominador não nulo, e na origem precisamos verificar o limite para ver se coincide com f(0,0)=0.]

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^{2}+y^{2}\neq0 e
f(x,y)=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
é razão de funções polinomiais contínuas. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Falta checar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe e vale 0. Note que, para (x,y)\neq(0,0),
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}} \le\frac{|x|^{3}}{x^{2}} =|x|.
Ao levarmos (x,y)\to(0,0), temos |x|\to0, portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).
Isso mostra que f é contínua também em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

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