Encontre uma parametrização da curva C obtida como interseção das superfícies S_{1} e S_{2}. Tente esboçar as superfícies e a curva interseção.
S_{1} com equação 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6 e S_{2} com equação \frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{z}{\sqrt{6}}=1;

Passo 1

O enunciado pede a curva C que é a interseção da elipsoide
S_1:2x^2+3y^2+z^2=6
com o plano
S_2:\frac y{\sqrt2}+\frac z{\sqrt6}=1.
Geometricamente, essa interseção é uma elipse. Para achar uma parametrização, vamos isolar z no plano e substituir na equação da elipsoide, depois levar o resultado a uma forma de “círculo/Axes-alinhados” para parametrizar com cosseno e seno.

Passo 2

Isolamos z em S_2:
\frac y{\sqrt2}+\frac z{\sqrt6}=1 \quad\Longrightarrow\quad z=\sqrt6\Bigl(1-\frac y{\sqrt2}\Bigr) =\sqrt6-\sqrt3\,y.

Passo 3

Substituímos esse z em S_1:
2x^2+3y^2+(\sqrt6-\sqrt3\,y)^2=6.
Expandindo
(\sqrt6-\sqrt3\,y)^2 =6-2\sqrt6\sqrt3\,y+3y^2 =6-6\sqrt2\,y+3y^2,
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2x^2+3y^2+6-6\sqrt2\,y+3y^2=6 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2+6y^2-6\sqrt2\,y=0.
Dividindo por 2:
x^2+3y^2-3\sqrt2\,y=0.

Passo 4

Fazemos o “complete square” em y:
3y^2-3\sqrt2\,y =3\Bigl(y^2-\sqrt2\,y\Bigr) =3\Bigl((y-\tfrac{\sqrt2}2)^2-\tfrac12\Bigr) =3(y-\tfrac{\sqrt2}2)^2-\tfrac32.
Então
x^2+3(y-\tfrac{\sqrt2}2)^2-\tfrac32=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2+3\bigl(y-\tfrac{\sqrt2}2\bigr)^2=\tfrac32.
Escrevendo na forma padrão de elipse:
\frac{x^2}{\tfrac32}+\frac{(y-\tfrac{\sqrt2}2)^2}{\tfrac12}=1,
logo os semi-eixos são \sqrt{\tfrac32} na direção x e \sqrt{\tfrac12} na direção y.

Passo 5

Agora parametrizamos essa elipse padrão usando um parâmetro t:
x=\sqrt{\tfrac32}\,\cos t, \qquad y-\tfrac{\sqrt2}2=\sqrt{\tfrac12}\,\sin t \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{\sqrt2}2+\sqrt{\tfrac12}\,\sin t.
E lembrando z=\sqrt6-\sqrt3\,y, temos
z=\sqrt6-\sqrt3\Bigl(\tfrac{\sqrt2}2+\sqrt{\tfrac12}\,\sin t\Bigr) =\tfrac{\sqrt6}2-\sqrt{\tfrac32}\,\sin t.

Resposta

Uma parametrização conveniente da curva C é
\mathbf r(t)=\Bigl(\sqrt{\tfrac32}\cos t,\;\tfrac{\sqrt2}2+\sqrt{\tfrac12}\sin t,\;\tfrac{\sqrt6}2-\sqrt{\tfrac32}\sin t\Bigr), \quad 0\le t<2\pi.
Essa curva é uma elipse obtida cortando o elipsoide pelo plano inclinado.

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