Ex. 8. Determine a região de continuidade de f. Faça um desenho da mesma.
f(x, y)=ln (x^2+y^2-1)

Passo 1

O enunciado pede a região de continuidade de
f(x,y)=lnl(x^2+y^2-1r)
Aqui usamos que a função ln só está definida e é contínua onde seu argumento é positivo, e que a função (x,y)mapsto x^2+y^2-1 é contínua em R^2.

Passo 2

Impondo o argumento do log positivo:
x^2+y^2-1>0
ou seja
x^2+y^2>1
Portanto o domínio de definição (e de continuidade) de f é
D=(x,y)mid x^2+y^2>1

Passo 3

Como ln é contínua em todo ponto do seu domínio e (x,y)mapsto x^2+y^2-1 é contínua em R^2, a composição
f=lncircl((x,y)mapsto x^2+y^2-1r)
é contínua em cada ponto de D.

Passo 4

Para desenhar a região de continuidade, trace um círculo de raio 1 centrado na origem com linha pontilhada (fronteira não incluída) e sombree a região externa ao círculo.

Resposta

A região de continuidade de é
Desenho esquemático (círculo de raio tracejado, a região externa está sombreada):
           y
           \uparrow
           \vert         . - - - - - - - - - .
           \vert      .'                     '.
           \vert    .'      região externa    '.
           \vert   /                           \\
  —————————\(+\)—/—-------------------------------\—\(\to\) x
           \vert   \                           /
           \vert    '.                       .'
           \vert      '.                   .'
           \vert         '- - - - - - - - -'

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