Esboce a região D, mude a ordem de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{y}^{\sqrt{\pi}} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le \sqrt{\pi},\;y\le x\le \sqrt{\pi}\},
trocar a ordem de integração na integral
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y}^{\sqrt{\pi}}\sin(x^{2})\,dx\,dy
e, por fim, calcular seu valor. O conteúdo envolve interpretação geométrica de domínio, mudança de ordem de integração e uso de substituição em integral de função simples.

Passo 2

Para esboçar D, observamos as fronteiras:
  1. y=0,
  2. y=\sqrt{\pi},
  3. x=y,
  4. x=\sqrt{\pi}.
    No plano xy, isso corresponde ao triângulo com vértices (0,0), (\sqrt{\pi},0) e (\sqrt{\pi},\sqrt{\pi}), abaixo da reta x=y e à esquerda da reta x=\sqrt{\pi}.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, notamos que em D a variável x varia de 0 até \sqrt{\pi} e, para cada x fixo, y varia de 0 até x. Logo
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y}^{\sqrt{\pi}}\sin(x^{2})\,dx\,dy =\int_{x=0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y=0}^{x}\sin(x^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Na integral invertida, \sin(x^{2}) independe de y, então
\int_{x=0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y=0}^{x}\sin(x^{2})\,dy\,dx =\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\Bigl[\sin(x^{2})\cdot y\Bigr]_{y=0}^{y=x}\,dx =\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\,\sin(x^{2})\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, temos
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\,\sin(x^{2})\,dx =\frac12\int_{u=0}^{u=\pi}\sin(u)\,du =\frac12\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac12\bigl[-\cos(\pi)+\cos(0)\bigr] =\frac12(2) =1.

Resposta

O valor da integral é 1.

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