Esboce a região
, mude a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
trocar a ordem de integração na integral
e, por fim, calcular seu valor. O conteúdo envolve interpretação geométrica de domínio, mudança de ordem de integração e uso de substituição em integral de função simples.
Passo 2
Para esboçar
, observamos as fronteiras:
-
, -
, -
, -
.
No plano, isso corresponde ao triângulo com vértices , e , abaixo da reta e à esquerda da reta .
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, notamos que em
a variável
varia de
até
e, para cada
fixo,
varia de
até
. Logo
Passo 4
Na integral invertida,
independe de
, então
Fazendo a substituição
,
, temos
Resposta
O valor da integral é
.