Determine a região de integração
e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar a região de integração
e trocar a ordem de integração da integral dupla
. A gente vai precisar entender como visualizar a região
no plano xy e depois ajustar os limites de integração para inverter a ordem. Vamos resolver isso juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral está na ordem
, então:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de até .
Isso significa que a região
é definida por:
Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
Passo 3
Vamos desenhar as curvas que definem os limites de
:
-
: Essa é a parte esquerda do círculo de raio 1 centrado na origem, porque . -
: Essa é uma reta que desce de a .
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar onde a região
começa e termina.
Passo 4
Para encontrar os pontos de interseção entre
e
, igualamos as duas expressões:
Vamos resolver essa equação:
- Isolamos a raiz:
- Elevamos ambos os lados ao quadrado:
- Expandimos o lado direito:
- Simplificamos:
- As soluções são
e .
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 5
Agora que sabemos que a região
está delimitada entre
e
, e entre
e
, vamos trocar a ordem de integração para
.
Primeiro, precisamos expressar os limites de
em termos de
.
Passo 6
Para inverter a ordem, observamos como
varia na região
:
-
varia de a (o menor valor de é -1 e o maior é 1).
Para cada
,
varia:
- De
até (a parte superior do círculo). - Mas também, para
entre e , a reta está acima do círculo, então precisamos considerar essas duas partes separadamente.
Passo 7
Dividimos a integral em duas partes para acomodar as diferentes expressões de
dependendo de
:
- Para
de a :
- Para
de a :
Passo 8
Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A troca da ordem de integração resulta em: