Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
integral0^1 integral-raiz1-y^2^1-y f(x, y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar a região de integração D e trocar a ordem de integração da integral dupla integral0^1 integral-raiz1-y^2^1-y f(x, y) , dx , dy. A gente vai precisar entender como visualizar a região D no plano xy e depois ajustar os limites de integração para inverter a ordem. Vamos resolver isso juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral está na ordem dx , dy , então:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de y , x varia de -raiz1 - y^2 até 1 - y .
Isso significa que a região D é definida por:
0 <= y <= 1 e -raiz1 - y^2 <= x <= 1 - y
Vamos desenhar isso para visualizar melhor.

Passo 3

Vamos desenhar as curvas que definem os limites de x :
  1. x = -raiz1 - y^2 : Essa é a parte esquerda do círculo de raio 1 centrado na origem, porque x^2 + y^2 = 1 .
  2. x = 1 - y : Essa é uma reta que desce de (1, 0) a (0, 1) .
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar onde a região D começa e termina.

Passo 4

Para encontrar os pontos de interseção entre x = -raiz1 - y^2 e x = 1 - y , igualamos as duas expressões:
-raiz1 - y^2 = 1 - y
Vamos resolver essa equação:
  1. Isolamos a raiz:
raiz1 - y^2 = y - 1
  1. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
1 - y^2 = (y - 1)^2
  1. Expandimos o lado direito:
1 - y^2 = y^2 - 2y + 1
  1. Simplificamos:
1 - y^2 = y^2 - 2y + 1 implies -y^2 = y^2 - 2y implies -2y^2 + 2y = 0 implies 2y(y - 1) = 0
  1. As soluções são y = 0 e y = 1 .
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos ( -1, 0 ) e (0, 1) .

Passo 5

Agora que sabemos que a região D está delimitada entre y = 0 e y = 1 , e entre x = -raiz1 - y^2 e x = 1 - y , vamos trocar a ordem de integração para dy , dx .
Primeiro, precisamos expressar os limites de y em termos de x .

Passo 6

Para inverter a ordem, observamos como x varia na região D :
  • x varia de -1 a 1 (o menor valor de x é -1 e o maior é 1).
Para cada x , y varia:
  • De y = 0 até y = raiz1 - x^2 (a parte superior do círculo).
  • Mas também, para x entre -1 e 0 , a reta y = 1 - x está acima do círculo, então precisamos considerar essas duas partes separadamente.

Passo 7

Dividimos a integral em duas partes para acomodar as diferentes expressões de y dependendo de x :
  1. Para x de -1 a 0 :
0 <= y <= raiz1 - x^2
  1. Para x de 0 a 1 :
0 <= y <= 1 - x

Passo 8

Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral-1^0 integral0^raiz1 - x^2 f(x, y) , dy , dx + integral0^1 integral0^1 - x f(x, y) , dy , dx

Resposta

A troca da ordem de integração resulta em:
integral-1^0 integral0^raiz1 - x^2 f(x, y) , dy , dx + integral0^1 integral0^1 - x f(x, y) , dy , dx

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