Resolva a EDO exata (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)+2 y) d y=0. A solução é: A) x e^2 y-sen(x y)+y+c=0 B) x e^y-sen(x y)+y^2+c=0 C) x e-sen(x y)+y^2+c=0 D) x e^2 y-sen(x y)+y^2+c=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
l(e^2y-ycos(xy)r),dx+l(2x e^2y-xcos(xy)+2yr),dy=0,
que é do tipo M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Vamos verificar exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy),
partial Npartial x =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) tal que
partialPhi/partial x=M. Integramos em x:
Phi(x,y) =integrall(e^2y-ycos(xy)r),dx =x e^2y-sin(xy)+h(y),
onde h(y) é uma “constante” em relação a x.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partialPhi/partial y=N. Calculando
partialPhipartial y =2x e^2y-xcos(xy)+h'(y)
e igualando a
N=2x e^2y-xcos(xy)+2y,
vemos que h'(y)=2y, logo
h(y)=y^2

Resposta

A solução geral é
x e^2y-sin(xy)+y^2+C=0,
ou seja, alternativa (D).

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