Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a concavidade da função
está para cima, para baixo e encontrar os pontos de inflexão, se tiver. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou diminuindo.
A função é
. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a primeira derivada:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada de
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Usando a regra do produto novamente:
Passo 5
Vamos agora encontrar onde a segunda derivada é zero ou não existe, pois esses pontos podem ser onde a concavidade muda.
Então,
é o único ponto crítico para a segunda derivada.
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada nos intervalos determinados por esse ponto crítico para saber onde a concavidade é para cima ou para baixo.
-
Intervalo 1:Vamos escolher
:
Então, nesse intervalo, a concavidade é para baixo.
-
Intervalo 2:Vamos escolher
:
Então, nesse intervalo, a concavidade é para cima.
Passo 7
Por fim, vamos identificar se há um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda de para cima para para baixo ou vice-versa, o que acontece em
.
Para encontrar a coordenada y desse ponto:
Então, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A concavidade da função
é:
- Para baixo: no intervalo
- Para cima: no intervalo
Existe um ponto de inflexão em
.