Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
f(x)=x(2 x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a concavidade da função f(x) = x(2x + 1)^2 está para cima, para baixo e encontrar os pontos de inflexão, se tiver. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de f(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou diminuindo.
A função é f(x) = x(2x + 1)^2 . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Calculando:
f'(x) = ddx[x] cdot (2x + 1)^2 + x cdot ddx[(2x + 1)^2]
f'(x) = 1 cdot (2x + 1)^2 + x cdot 2(2x + 1) cdot 2
f'(x) = (2x + 1)^2 + 4x(2x + 1)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a primeira derivada:
f'(x) = (2x + 1)(2x + 1) + 4x(2x + 1)
f'(x) = (2x + 1)[2x + 1 + 4x]
f'(x) = (2x + 1)(6x + 1)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada de f(x) , que nos ajuda a determinar a concavidade da função.
f''(x) = ddx[f'(x)] = ddx[(2x + 1)(6x + 1)]
Usando a regra do produto novamente:
f''(x) = ddx[2x + 1] cdot (6x + 1) + (2x + 1) cdot ddx[6x + 1]
f''(x) = 2 cdot (6x + 1) + (2x + 1) cdot 6
f''(x) = 12x + 2 + 12x + 6
f''(x) = 24x + 8

Passo 5

Vamos agora encontrar onde a segunda derivada é zero ou não existe, pois esses pontos podem ser onde a concavidade muda.
24x + 8 = 0
24x = -8
x = -824 = -13
Então, x = -13 é o único ponto crítico para a segunda derivada.

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada nos intervalos determinados por esse ponto crítico para saber onde a concavidade é para cima ou para baixo.
  • Intervalo 1: x < -13
    Vamos escolher x = -1 :
f''(-1) = 24(-1) + 8 = -24 + 8 = -16 < 0
Então, nesse intervalo, a concavidade é para baixo.
  • Intervalo 2: x > -13
    Vamos escolher x = 0 :
f''(0) = 24(0) + 8 = 0 + 8 = 8 > 0
Então, nesse intervalo, a concavidade é para cima.

Passo 7

Por fim, vamos identificar se há um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda de para cima para para baixo ou vice-versa, o que acontece em x = -13 .
Para encontrar a coordenada y desse ponto:
f(-13) = (-13)(2(-13) + 1)^2
f(-13) = -13 (-23 + 1)^2 = -13 (13)^2 = -13 cdot 19 = -127
Então, o ponto de inflexão é (-13, -127) .

Resposta

A concavidade da função f(x) = x(2x + 1)^2 é:
  • Para baixo: no intervalo (-infty, -13)
  • Para cima: no intervalo (-13, +infty)
Existe um ponto de inflexão em (-13, -127) .

Exercícios relacionados