Determine a região de integração e troque a ordem de integração das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral dupla onde precisa mudar a ordem de integração. Isso envolve entender a região onde a função $ f(x, y) $ está sendo integrada. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre como visualizar e descrever regiões no plano $ xy $. Vamos entender quais são os limites atuais e como reorganizá-los para trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração atuais. A integral dada é:
Aqui, $ y $ varia de 0 a 2. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ -\sqrt{4 - y^{2}} $ a $ 2 - y $.
Passo 3
Vamos entender essas limites melhor. A expressão $ x = -\sqrt{4 - y^{2}} $ representa a parte esquerda do círculo de raio 2 centrado na origem, pois $ x^2 + y^2 = 4 $. Já $ x = 2 - y $ é uma reta que desce de $ y = 0 $ até $ y = 2 $.
Passo 4
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de $ x $ e $ y $. Primeiro, determinamos os limites de $ x $. Observando as equações:
- A linha $ x = 2 - y $ pode ser reescrita como $ y = 2 - x $.
- O círculo é $ x^2 + y^2 = 4 $, então $ y = \sqrt{4 - x^2} $ (a parte superior do círculo).
Passo 5
Agora, vamos determinar para quais valores de $ x $ as duas curvas se intersectam. Igualando as equações $ y = 2 - x $ e $ y = \sqrt{4 - x^2} $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, as interseções são em $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 6
Com isso, podemos agora definir os novos limites. $ x $ varia de $ -2 $ a $ 2 $ (o raio do círculo). Para cada $ x $, $ y $ varia da linha $ y = 2 - x $ até a parte superior do círculo $ y = \sqrt{4 - x^2} $.
Passo 7
Portanto, a nova ordem de integração será integrando primeiro em $ y $ e depois em $ x $, com os limites ajustados conforme identificado.
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada fica: