Nos problemas a seguir, x=c1 e^omega+c2 e^-omega é uma família a dois parâmetros de soluções da ED de segunda ordem x^prime prime-x=0. Encontre uma solução para o problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e nas condições dadas.
x(-1)=5, x^prime(-1)=-5

Passo 1

O problema pede para encontrar a solução da equação diferencial x''-x=0 que satisfaz x(-1)=5 e x'(-1)=-5. O conteúdo é ED linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a forma geral de suas soluções.

Passo 2

Para essa ED, o polinômio característico é r^2-1=0, cujas raízes são r=1 e r=-1. Logo a solução geral é
x(t)=c1e^t+c2e^-t

Passo 3

Para impor as condições iniciais, precisamos da derivada
x'(t)=c1e^t - c2e^-t

Passo 4

Agora aplicamos t=-1 em x(t) e x'(t):
x(-1)=c1e^-1+c2e^1=5, x'(-1)=c1e^-1-c2e^1=-5

Passo 5

Somando e subtraindo essas duas equações, obtemos
2l(c1e^-1r)=0 implies c1=0, 2l(c2e^1r)=10 implies c2=5e

Passo 6

Substituindo c1=0 e c2=5/e na solução geral, fica
x(t)=0cdot e^t+5ee^-t=5e^-(t+1)

Resposta

x(t)=5e^-(t+1)

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