Determine uma região do plano
para a qual a equação diferencial dada teria uma solução única cujo gráfico passa por um ponto
da região.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede uma região do plano
em que exista e seja única a solução cuja curva passe por um ponto
dessa região. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem: devemos escrever a EDO na forma
e verificar onde
e
são contínuas.
Passo 2
Colocando a EDO em forma padrão, temos
Logo
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que
e
sejam contínuas na região considerada. Calculamos
Ambas as funções
e
são contínuas sempre que
. Portanto o único ponto de descontinuidade é a reta
.
Passo 4
Para garantir existência e unicidade da solução passando por
, basta escolher uma região que contenha
e não intersecte a reta
. Assim, se
podemos tomar, por exemplo,
e se
basta tomar
Resposta
Se
, vale a região
. Se
, vale a região
.