Determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial dada teria uma solução única cujo gráfico passa por um ponto (x0, y0) da região.
x d yd x=y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
xdydx=y
e pede uma região do plano (x,y) em que exista e seja única a solução cuja curva passe por um ponto (x0,y0) dessa região. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem: devemos escrever a EDO na forma
dydx=f(x,y)
e verificar onde f e partial f/partial y são contínuas.

Passo 2

Colocando a EDO em forma padrão, temos
dydx=yx,
Logo f(x,y)=y/x.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que f(x,y) e partial f/partial y sejam contínuas na região considerada. Calculamos
partial fpartial y=1x,
Ambas as funções y/x e 1/x são contínuas sempre que xneq0. Portanto o único ponto de descontinuidade é a reta x=0.

Passo 4

Para garantir existência e unicidade da solução passando por (x0,y0), basta escolher uma região que contenha (x0,y0) e não intersecte a reta x=0. Assim, se x0>0 podemos tomar, por exemplo,
R=(x,y)mid x>0,
e se x0<0 basta tomar
R=(x,y)mid x<0

Resposta

Se x0>0, vale a região R=(x,y)mid x>0. Se x0<0, vale a região R=(x,y)mid x<0.

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