A função y=c1 e^t+c2 e^-t é uma família de soluções de dois parâmetros da equação diferencial de segunda ordem y^prime prime+y^prime=0. Encontre a solução do PVI desta equação diferencial para cada uma das seguintes condições
y(-1)=5, y^prime(-1)=-5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' + y' = 0
e já informa a solução geral de dois parâmetros
y = c1 e^t + c2 e^-t
Queremos escolher c1 e c2 de modo que
y(-1)=5 e y'(-1)=-5

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de y. Derivando em relação a t, obtemos
y' = c1 e^t - c2 e^-t

Passo 3

Agora impomos as condições em t=-1. Substituindo em y e em y' e igualando aos valores dados, vem
c1 e^-1 + c2 e^1 = 5,
c1 e^-1 - c2 e^1 = -5

Passo 4

Somando as duas equações elimina c2:
2,c1 e^-1 = 0 Longrightarrow c1 = 0
Substituindo c1=0 em qualquer uma das equações, por exemplo na primeira,
0 + c2 e^1 = 5 Longrightarrow c2 = 5e^-1

Passo 5

Com esses valores, a solução particular fica
y(t) = 0cdot e^t + l(5e^-1r)e^-t = 5,e^-1-t = 5,e^-(t+1)

Resposta

y(t) = 5,e^-(t+1)

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