A função y=c1 e^t+c2 e^-t é uma família de soluções de dois parâmetros da equação diferencial de segunda ordem y^prime prime+y^prime=0. Encontre a solução do PVI desta equação diferencial para cada uma das seguintes condições
y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI da EDO de segunda ordem y''+y'=0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2. A solução geral dada é y=c1e^t+c2e^-t, portanto o conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e vamos determinar os parâmetros c1 e c2.

Passo 2

Calculamos a derivada da solução geral: y'=c1e^t-c2e^-t. Avaliando em t=0 obtemos as condições iniciais:
c1+c2=1, c1-c2=2

Passo 3

Resolvendo o sistema acima somamos as duas equações para encontrar c1:
2c1=3implies c1=tfrac32,
Substituindo c1=tfrac32 em c1+c2=1 resulta em
c2=1-tfrac32=-tfrac12

Passo 4

Com c1=tfrac32 e c2=-tfrac12 escrevemos a solução particular do PVI.

Resposta

y(t)=tfrac32e^t-tfrac12e^-t

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