Mostre que o limites a seguir não existem:
lim (x, y) (4,3) x^2+y^2-25x^2-y^2-7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(4,3)x^2+y^2-25x^2-y^2-7
não existe. Como ambas as partes do quociente vão a zero em (4,3), vamos calcular limites ao longo de duas retas (direções) diferentes e ver se obtemos valores distintos.

Passo 2

Considere o caminho y=3. Substituindo em
f(x,3)=x^2+3^2-25x^2-3^2-7 =x^2+9-25x^2-9-7 =x^2-16x^2-16
para xneq4 temos f(x,3)=1. Logo,
limxto4f(x,3)=1

Passo 3

Agora considere o caminho x=4. Substituindo em
f(4,y)=4^2+y^2-254^2-y^2-7 =16+y^2-2516-y^2-7 =y^2-99-y^2 =y^2-9-(y^2-9) =-1
para yneq3. Assim,
limyto3f(4,y)=-1

Passo 4

Os limites ao longo de y=3 e de x=4 são, respectivamente, 1 e -1, valores diferentes. Portanto o limite em (4,3) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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