Determine a região no plano x y em que as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade de Soluções são satisfeitas.
y^prime=x-y2 x+5 y

Passo 1

O enunciado pede a região no plano (x,y) em que as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade (TEU) valem para a EDO
y' = x - y2x + 5y
Conteúdo: EDO de primeira ordem em forma normal y'=f(x,y). Vamos precisar que f e partial f/partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Identificamos
f(x,y) = x - y2x + 5y
Para que f seja contínua, o denominador não pode zerar, ou seja, devemos ter
2x + 5y neq 0

Passo 3

Para a unicidade, precisamos de partial f/partial y contínua também. Calculando
partial fpartial y = -1cdot(2x+5y) - (x-y)cdot5(2x+5y)^2 = -2x -5y -5x +5y(2x+5y)^2 = -7x(2x+5y)^2,
vemos que o único possível problema de continuidade também é quando 2x+5y=0.

Passo 4

Portanto, tanto f quanto partial f/partial y são contínuas sempre que
2x + 5y neq 0
Em toda região aberta não intersectando a reta 2x+5y=0 (isto é, em cada um dos dois semiplanos 2x+5y>0 ou 2x+5y<0), valem as hipóteses do TEU.

Resposta

A região de existência e unicidade é
(x,y)inR^2 mid 2x + 5y neq 0,
isto é, os dois semiplanos 2x+5y>0 e 2x+5y<0.

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