Seja f a função periódica de período 2 pi definida por:
f(x)=rrr 0, & -pi <= x<0, sen x, & 0 <= x<pi
(a) ( 1,0 pts) Calcule a expansão em série de Fourier de f.
(b) (1,0 pts) Se a expansão se escreve como a02+sumn=1^infty an cos n x+bn sen n x, calcule o valor de sumn=1^infty an.
(c) (1,0 pts) Como em (b), calcule sumn=1^infty(an^2+bn^2).

Passo 1

Então, temos um exercício sobre séries de Fourier! A função f(x) é periódica com período 2pi e está definida de duas maneiras diferentes no intervalo [-π, π). Para resolver esse problema, vamos precisar entender como expandir funções em séries de Fourier e calcular coeficientes específicos dessa expansão.

Passo 2

Parte (a): Calcular a expansão em série de Fourier de f .
Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica com período 2pi pode ser expressa como uma série de Fourier da forma:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) )
Onde os coeficientes an e bn são calculados por:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx
Vamos calcular cada um desses coeficientes para a nossa função f(x) .
Primeiro, observe que f(x) = 0 para -pi <= x < 0 e f(x) = sin(x) para 0 <= x < pi .
Vamos calcular a0 :
a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx = 1pi ( integral-pi^0 0 , dx + integral0^pi sin(x) , dx ) = 1pi ( 0 + [ -cos(x) ]0^pi ) = 1pi (-cos(pi) + cos(0)) = 2pi
Agora, para an :
an = 1pi integral0^pi sin(x) cos(nx) , dx
Usando a identidade trigonométrica sin(A)cos(B) = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)] :
an = 12pi ( integral0^pi sin((n+1)x) , dx + integral0^pi sin((n-1)x) , dx )
Ambas as integrais de seno em múltiplos de x resultam em zero devido à periodicidade, então an = 0 para todo n .
Agora, para bn :
bn = 1pi integral0^pi sin(x) sin(nx) , dx
Usando a identidade sin(A)sin(B) = 12 [cos(A-B) - cos(A+B)] :
bn = 12pi ( integral0^pi cos((n-1)x) , dx - integral0^pi cos((n+1)x) , dx )
Resolvendo as integrais:
bn = 12pi ( sin((n-1)pi)n-1 - sin((n+1)pi)n+1 )
Como sin(kpi) = 0 para qualquer inteiro k , temos que bn = 0 quando n neq 1 . Para n = 1 :
b1 = 1pi integral0^pi sin^2(x) , dx = 1pi cdot pi2 = 12
Portanto, a série de Fourier de f(x) é:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) ) = 1pi + 12 sin(x)

Passo 3

Parte (b): Calcular sumn=1^infty an .
Da parte (a), vimos que todos os coeficientes an são iguais a zero. Portanto:
sumn=1^infty an = 0

Passo 4

Parte (c): Calcular sumn=1^infty ( an^2 + bn^2 ) .
Novamente, sabemos que an = 0 para todo n , e somente b1 = 12 é diferente de zero. Assim:
sumn=1^infty ( an^2 + bn^2 ) = sumn=1^infty ( 0 + bn^2 ) = b1^2 = ( 12 )^2 = 14

Resposta

(a) A expansão em série de Fourier de f(x) é 1pi + 12 sin(x) .
(b) sumn=1^infty an = 0 .
(c) sumn=1^infty ( an^2 + bn^2 ) = 14 .

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