Seja
a função periódica de período
definida por:
(a) ( 1,0 pts) Calcule a expansão em série de Fourier de
.
(b) (1,0 pts) Se a expansão se escreve como
, calcule o valor de
.
(c) (1,0 pts) Como em (b), calcule
.
(b) (1,0 pts) Se a expansão se escreve como
(c) (1,0 pts) Como em (b), calcule
Passo 1
Então, temos um exercício sobre séries de Fourier! A função
é periódica com período
e está definida de duas maneiras diferentes no intervalo
. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como expandir funções em séries de Fourier e calcular coeficientes específicos dessa expansão.
Passo 2
Parte (a): Calcular a expansão em série de Fourier de
.
Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica com período
pode ser expressa como uma série de Fourier da forma:
Onde os coeficientes
e
são calculados por:
Vamos calcular cada um desses coeficientes para a nossa função
.
Primeiro, observe que
para
e
para
.
Vamos calcular
:
Agora, para
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Ambas as integrais de seno em múltiplos de
resultam em zero devido à periodicidade, então
para todo
.
Agora, para
:
Usando a identidade
:
Resolvendo as integrais:
Como
para qualquer inteiro
, temos que
quando
. Para
:
Portanto, a série de Fourier de
é:
Passo 3
Parte (b): Calcular
.
Da parte (a), vimos que todos os coeficientes
são iguais a zero. Portanto:
Passo 4
Parte (c): Calcular
.
Novamente, sabemos que
para todo
, e somente
é diferente de zero. Assim:
Resposta
(a) A expansão em série de Fourier de
é
.
(b)
.
(c)
.