Determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) na região.
\left(1-y^{3}\right) y^{\prime}=x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(1 - y^3)\,\frac{dy}{dx} = x^2
e pede uma região do plano (x,y) em que exista e seja única a solução que passa por (x_0,y_0). Para isso vamos usar o Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que requer que, na região escolhida, a função
f(x,y)=\frac{x^2}{1-y^3}
e sua derivada parcial \partial f/\partial y sejam contínuas.

Passo 2

Colocamos a EDO em forma normal:
\frac{dy}{dx}=f(x,y)=\frac{x^2}{1-y^3}.
A única descontinuidade de f ocorre quando o denominador se anula, isto é, quando
1 - y^3 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^3 = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad y = 1.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^2}{1-y^3}\Bigr) =\frac{x^2\cdot 3y^2}{(1-y^3)^2},
que também fica mal-definida somente quando 1-y^3=0, isto é, em y=1.

Passo 4

Portanto, em qualquer região aberta e simplesmente conexa que não contenha pontos com y=1, as funções f e \partial f/\partial y são contínuas. Assim, se o ponto (x_0,y_0) satisfaz y_0\neq1, podemos escolher, por exemplo,
D_-=\{(x,y)\mid y<1\} \quad\text{ou}\quad D_+=\{(x,y)\mid y>1\}
como região em que existe e é única a solução passando por (x_0,y_0).

Resposta

Uma região adequada é qualquer conjunto aberto que não corte a reta y=1. Por exemplo,
\{(x,y)\mid y<1\} \quad\text{ou}\quad \{(x,y)\mid y>1\},
desde que (x_0,y_0) satisfaça y_0\neq1.

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