Determine uma região do plano
para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto
na região.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede uma região do plano
em que exista e seja única a solução que passa por
. Para isso vamos usar o Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que requer que, na região escolhida, a função
e sua derivada parcial
sejam contínuas.
Passo 2
Colocamos a EDO em forma normal:
A única descontinuidade de
ocorre quando o denominador se anula, isto é, quando
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
que também fica mal-definida somente quando
, isto é, em
.
Passo 4
Portanto, em qualquer região aberta e simplesmente conexa que não contenha pontos com
, as funções
e
são contínuas. Assim, se o ponto
satisfaz
, podemos escolher, por exemplo,
como região em que existe e é única a solução passando por
.
Resposta
Uma região adequada é qualquer conjunto aberto que não corte a reta
. Por exemplo,
desde que
satisfaça
.