Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) nessa região.
y^{\prime}=y^{1 / 3}
(Sol. y \neq 0 )

Passo 1

O enunciado pede uma região do plano (x,y) onde a EDO
y' = y^{1/3}
tenha existência e unicidade da solução que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr). O critério de existência e unicidade de Picard–Lindelöf exige que f(x,y)=y^{1/3} e sua derivada parcial em relação a y sejam contínuas na região considerada.

Passo 2

Identificamos
f(x,y)=y^{1/3}
que é contínua para todo y, e
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{3}\,y^{-2/3},
que deixa de ser contínua em y=0. Portanto, para garantir unicidade, devemos escolher uma região que não contenha pontos com y=0.

Passo 3

Como o ponto inicial satisfaz y_{0}\neq 0, existe um retângulo aberto em torno de \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) que não atinge a reta y=0. Por exemplo, escolhemos constantes a>0 e b>0 tais que
b < |y_{0}|
e definimos
R = \bigl\{(x,y)\mid |x - x_{0}|<a,\;|y - y_{0}|<b\bigr\}.
Nesse retângulo temos |y|\ge |y_{0}|-b>0, logo y\neq0 em R.

Passo 4

Dentro de R ambas as funções f e \partial f/\partial y são contínuas. Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução da EDO que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e permanece em R.

Resposta

Uma escolha conveniente é, para y_{0}>0, a região
R=\{(x,y)\mid |x-x_{0}|<a,\;y>0\},
e, para y_{0}<0, a região
R=\{(x,y)\mid |x-x_{0}|<a,\;y<0\},
com a>0 arbitrário. Nessa região y\neq0 e a solução é única.

Exercícios relacionados