Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto (
) nessa região.
(Sol.
)
(Sol.
Passo 1
O enunciado pede uma região do plano
onde a EDO
tenha existência e unicidade da solução que passa por
. O critério de existência e unicidade de Picard–Lindelöf exige que
e sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas na região considerada.
Passo 2
Identificamos
que é contínua para todo
, e
que deixa de ser contínua em
. Portanto, para garantir unicidade, devemos escolher uma região que não contenha pontos com
.
Passo 3
Como o ponto inicial satisfaz
, existe um retângulo aberto em torno de
que não atinge a reta
. Por exemplo, escolhemos constantes
e
tais que
e definimos
Nesse retângulo temos
, logo
em
.
Passo 4
Dentro de
ambas as funções
e
são contínuas. Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução da EDO que passa por
e permanece em
.
Resposta
Uma escolha conveniente é, para
, a região
e, para
, a região
com
arbitrário. Nessa região
e a solução é única.