Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) nessa região.
y^{\prime}=x^{2}+y^{2}
(Sol. R^{2} )

Passo 1

O enunciado pede uma região do plano (x,y) onde a EDO
y' = x^2 + y^2
tenha existência e unicidade de solução que passe por um ponto inicial (x_0,y_0). O conteúdo da matéria é o Teorema de Picard–Lindelöf (ou Teorema de Existência e Unicidade), que exige verificar se a função do lado direito e sua derivada parcial em y são contínuas numa vizinhança de (x_0,y_0).

Passo 2

Identificamos a função
f(x,y) = x^2 + y^2.
Para aplicar o teorema, precisamos também da derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2y.

Passo 3

Observamos que f(x,y)=x^2+y^2 é um polinômio em (x,y) e, portanto, é contínuo em todo \mathbb{R}^2. Além disso, \partial f/\partial y = 2y também é um polinômio (logo contínuo em todo \mathbb{R}^2).

Passo 4

Como f e \partial f/\partial y são contínuas em \mathbb{R}^2, o Teorema de Picard–Lindelöf garante que, para qualquer ponto inicial (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2, existe uma única solução da EDO definida numa vizinhança de (x_0,y_0). Podemos, portanto, escolher como região toda a \mathbb{R}^2.

Resposta

A região pode ser todo \displaystyle \mathbb{R}^2.

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