Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto (
) nessa região.
(Sol.
)
(Sol.
Passo 1
O enunciado pede uma região do plano
onde a EDO
tenha existência e unicidade de solução que passe por um ponto inicial
. O conteúdo da matéria é o Teorema de Picard–Lindelöf (ou Teorema de Existência e Unicidade), que exige verificar se a função do lado direito e sua derivada parcial em
são contínuas numa vizinhança de
.
Passo 2
Identificamos a função
Para aplicar o teorema, precisamos também da derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Observamos que
é um polinômio em
e, portanto, é contínuo em todo
. Além disso,
também é um polinômio (logo contínuo em todo
).
Passo 4
Como
e
são contínuas em
, o Teorema de Picard–Lindelöf garante que, para qualquer ponto inicial
, existe uma única solução da EDO definida numa vizinhança de
. Podemos, portanto, escolher como região toda a
.
Resposta
A região pode ser todo
.