Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto (
) nessa região.
(Sol.
)
(Sol.
Passo 1
O enunciado pede uma região do plano
onde a equação diferencial
admita, para cada ponto inicial
nessa região, existência e unicidade de solução. Vamos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf (ou de existência e unicidade), que exige que a função
e sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial.
Passo 2
Identificamos
Para que
seja bem definida e contínua precisamos ter
. Em seguida, calculamos
Esse quociente é contínuo somente quando o denominador não se anula, isto é, quando
.
Passo 3
Do Teorema de Picard-Lindelöf, como
e
são contínuas em qualquer região aberta onde
, em torno de todo ponto
com
existe uma única solução local da EDO. Logo a região desejada é todo o semiplano onde
.
Resposta
A região
é um domínio em que, para qualquer
com
, a EDO
tem solução única.