Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) nessa região.
y^{\prime}=x \sqrt{y}
(Sol. y>0 )

Passo 1

O enunciado pede uma região do plano (x,y) onde a equação diferencial
y' = x\sqrt{y}
admita, para cada ponto inicial (x_{0},y_{0}) nessa região, existência e unicidade de solução. Vamos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf (ou de existência e unicidade), que exige que a função f(x,y)=x\sqrt{y} e sua derivada parcial em relação a y sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Identificamos
f(x,y)=x\sqrt{y}.
Para que f seja bem definida e contínua precisamos ter y\ge0. Em seguida, calculamos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x}{2\sqrt{y}}.
Esse quociente é contínuo somente quando o denominador não se anula, isto é, quando y>0.

Passo 3

Do Teorema de Picard-Lindelöf, como f e \partial f/\partial y são contínuas em qualquer região aberta onde y>0, em torno de todo ponto (x_{0},y_{0}) com y_{0}>0 existe uma única solução local da EDO. Logo a região desejada é todo o semiplano onde y>0.

Resposta

A região
D = \bigl\{(x,y)\mid y>0\bigr\}
é um domínio em que, para qualquer (x_{0},y_{0}) com y_{0}>0, a EDO y'=x\sqrt{y} tem solução única.

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