Resolva as seguintes EDOs.
x d x-\frac{\sqrt{4-x}}{y} d y=0
(Sol. \ln (y)=\frac{2}{3} \sqrt{(4-x)^{3}}-8 \sqrt{4-x}+c )

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
x\,dx \;-\;\frac{\sqrt{4-x}}{y}\,dy \;=\;0.
Este é um caso de variáveis separáveis: vamos reunir termos com y num lado e termos com x no outro e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação
x\,dx = \frac{\sqrt{4-x}}{y}\,dy
e isolando dy sobre y, obtemos
\frac{dy}{y} \;=\;\frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo diretamente:
\int \frac{dy}{y} = \ln(y) + C_{1}.

Passo 4

Para o lado direito, calculamos
\int \frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx.
Fazendo u = 4 - x, temos du = -dx e x = 4 - u. Então
\int \frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx = -\int \frac{4 - u}{\sqrt{u}}\,du = -\int\bigl(4u^{-\tfrac12}-u^{\tfrac12}\bigr)\,du.
Agora
-\int 4u^{-\tfrac12}\,du = -4\cdot 2u^{\tfrac12} = -8\sqrt{u},
-\int(-u^{\tfrac12})\,du = \int u^{\tfrac12}\,du = \frac{2}{3}u^{\tfrac32}.
Somando e recolocando a constante C_{2}, fica
\int \frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx = \frac{2}{3}u^{\tfrac32} \;-\;8\sqrt{u} + C_{2} = \frac{2}{3}(4-x)^{\tfrac32} - 8\sqrt{4-x} + C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas integrais:
\ln(y) + C_{1} = \frac{2}{3}(4-x)^{\tfrac32} - 8\sqrt{4-x} + C_{2}.
Definindo C = C_{2}-C_{1}, a solução implícita fica
\ln(y) = \frac{2}{3}(4-x)^{\tfrac32} - 8\sqrt{4-x} + C.

Resposta

\ln(y) = \frac{2}{3}(4-x)^{\tfrac32} - 8\sqrt{4-x} + C.

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