Resolva as seguintes EDOs.
2 y(x+1) d y=x d x
(Sol. \quad y^{2}=x-\ln |x+1|+c )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2\,y\,(x+1)\,dy = x\,dx
que é uma EDO de variáveis separáveis.

Passo 2

Vamos separar as variáveis em cada membro. Dividindo ambos os lados por (x+1)
2\,y\,dy = \frac{x}{x+1}\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int 2\,y\,dy = \int \frac{x}{x+1}\,dx.

Passo 4

No lado esquerdo,
\int 2\,y\,dy = y^2.
No direito, escrevemos
\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1},
logo
\int \frac{x}{x+1}\,dx = \int\!1\,dx \;-\;\int \frac{1}{x+1}\,dx = x - \ln\bigl|x+1\bigr|.
Portanto, após integração,
y^2 = x - \ln\bigl|x+1\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y^{2} = x - \ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Exercícios relacionados