Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) nessa região.
y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x}
(Sol. x \neq 0 )

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) para a equação
y'=\frac{y^2}{x}
e encontre uma região do plano (x,y) que contenha (x_0,y_0) onde haja solução única. Para isso precisamos que
f(x,y)=\frac{y^2}{x}
e sua derivada parcial em relação a y sejam contínuas na região considerada.

Passo 2

Calculamos
f(x,y)=\frac{y^2}{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x}.
Ambas as funções são contínuas sempre que o denominador x for diferente de zero.

Passo 3

Portanto basta escolher uma região aberta que não atravesse a reta x=0 e que contenha (x_0,y_0). Como (x_0,y_0) tem x_0\neq0, temos dois casos:
• Se x_0>0, podemos tomar por exemplo
R=\{(x,y)\mid x>0\}.
• Se x_0<0, podemos tomar
R=\{(x,y)\mid x<0\}.

Resposta

Se x_0>0, escolha a região
\{(x,y)\mid x>0\};
se x_0<0, escolha
\{(x,y)\mid x<0\}.
Em qualquer dessas regiões f e \partial f/\partial y são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por (x_0,y_0).

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