Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto (
) nessa região.
(Sol.
)
(Sol.
Passo 1
O enunciado pede que a gente use o teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) para a equação
e encontre uma região do plano
que contenha
onde haja solução única. Para isso precisamos que
e sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas na região considerada.
Passo 2
Calculamos
Ambas as funções são contínuas sempre que o denominador
for diferente de zero.
Passo 3
Portanto basta escolher uma região aberta que não atravesse a reta
e que contenha
. Como
tem
, temos dois casos:
• Se , podemos tomar por exemplo
• Se
• Se
, podemos tomar
Resposta
Se
, escolha a região
se
, escolha
Em qualquer dessas regiões
e
são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por
.