Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) nessa região.
y^{\prime}=y \frac{2}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}
(Sol. \quad x \neq 0, y \neq 0 )

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = f(x,y),\quad f(x,y)=\frac{2\,y}{x^2+y^2},
e pede uma região no plano (x,y) onde, para todo ponto (x_{0},y_{0}) dessa região, existe uma única solução passando por esse ponto. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade), que exige que f e \partial f/\partial y sejam contínuas na região.

Passo 2

Identificamos
f(x,y)=\frac{2\,y}{x^{2}+y^{2}}.
O domínio natural é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 0\},
pois f não está definida quando x^{2}+y^{2}=0, i.e.\ apenas na origem (0,0).

Passo 3

Para aplicar Picard–Lindelöf, precisamos que f seja contínua em D e que a derivada parcial
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
seja também contínua em D. Como x^{2}+y^{2} só se anula em (0,0), ambas funções são eviden­temente contínuas em qualquer subconjunto aberto de D.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(2y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}\Bigr) =2\,(x^{2}+y^{2})^{-1}-2y\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y =\frac{2\,(x^{2}+y^{2})-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Esse quociente é contínuo sempre que x^{2}+y^{2}\neq 0.

Passo 5

Conclusão: f e \partial f/\partial y são contínuas em todo ponto onde x^{2}+y^{2}\neq0. Logo, em qualquer região aberta contida em
\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\neq0\},
o problema de valor inicial tem solução única para cada (x_{0},y_{0}) nessa região.

Resposta

Pode-se tomar, por exemplo, cada um dos quatro quadrantes abertos
\{(x,y)\mid x>0,\;y>0\},\quad \{(x,y)\mid x<0,\;y>0\},\quad \{(x,y)\mid x<0,\;y<0\},\quad \{(x,y)\mid x>0,\;y<0\},
ou, de modo geral, qualquer região aberta em que x\neq0 e y\neq0. Nessas regiões vale x^{2}+y^{2}\neq0 e há existência e unicidade da solução.

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