Determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passa pelo ponto (
) nessa região.
(Sol.
)
(Sol.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede uma região no plano
onde, para todo ponto
dessa região, existe uma única solução passando por esse ponto. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade), que exige que
e
sejam contínuas na região.
Passo 2
Identificamos
O domínio natural é
pois
não está definida quando
, i.e.\ apenas na origem
.
Passo 3
Para aplicar Picard–Lindelöf, precisamos que
seja contínua em
e que a derivada parcial
seja também contínua em
. Como
só se anula em
, ambas funções são evidentemente contínuas em qualquer subconjunto aberto de
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Esse quociente é contínuo sempre que
.
Passo 5
Conclusão:
e
são contínuas em todo ponto onde
. Logo, em qualquer região aberta contida em
o problema de valor inicial tem solução única para cada
nessa região.
Resposta
Pode-se tomar, por exemplo, cada um dos quatro quadrantes abertos
ou, de modo geral, qualquer região aberta em que
e
. Nessas regiões vale
e há existência e unicidade da solução.