Resolva as seguintes EDOs.
2 y^{\prime}-\frac{3}{y}=2 \frac{x}{y}, y(0)=\sqrt{2}
(Sol. y=\sqrt{(x+1)(x+2)}
)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
2\,y' - \frac{3}{y} \;=\; 2\,\frac{x}{y},\quad y(0)=\sqrt{2}.
Aqui vamos usar manipulação algébrica para reconhecer uma derivada exata em y^2 e, em seguida, integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar y':
2\,y' = \frac{3}{y} + 2\,\frac{x}{y} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{3+2x}{2\,y}.
Multiplicamos ambos os lados por y para obter
y\,y' = \frac{3+2x}{2}.

Passo 3

Observamos que
\frac{d}{dx}\bigl(y^2\bigr) = 2\,y\,y',
então, multiplicando por 2 em ambos os lados da equação y\,y' = (3+2x)/2, temos
2\,y\,y' = 3 + 2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(y^2\bigr) = 3 + 2x.

Passo 4

Integramos em relação a x:
y^2 = \int (3+2x)\,dx = 3x + x^2 + C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=\sqrt{2}, ou seja, y^2(0)=2. Substituindo x=0 em y^2=3x+x^2+C
2 = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2.
Logo
y^2 = x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2).

Passo 6

Como a condição inicial nos dá y(0)>0, escolhemos a raiz positiva:
y = \sqrt{(x+1)(x+2)}.

Resposta

y = \sqrt{(x+1)(x+2)}.

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