Determine a relação entre os naturais m e n para que i^m=i^n.

Passo 1

Aqui a gente tem um exercício que pede para encontrar a relação entre dois números naturais, m e n, de forma que $ i^{m} = i^{n} $. O conteúdo envolvido é a potência de números complexos, especificamente com a unidade imaginária $ i $. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências de $ i $ se comportam e identificar o padrão que elas seguem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a unidade imaginária $ i $ é definida por $ i = \sqrt{-1} $. As potências de $ i $ têm um padrão periódico que se repete a cada 4. Vamos calcular algumas potências para identificar esse padrão:
i
i = raiz-1
i
i^1 = i
Depois, o ciclo se repete:
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1

Passo 3

Observamos que as potências de $ i $ se repetem a cada 4 expoentes. Isso significa que, para quaisquer inteiros m e n, as potências $ i^{m} $ e $ i^{n} $ serão iguais se os expoentes m e n tiverem o mesmo resto quando divididos por 4. Em outras palavras, m e n devem ser congruentes módulo 4.

Resposta

Os números naturais m e n devem satisfazer a relação $ m \equiv n \pmod{4} $ para que $ i^{m} = i^{n} $.

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