Determine a relação entre
e
para que sejam LD os vetores
e
. resp.:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no plano:
e
.
Pede-se encontrar a relação entre e
para que esses vetores sejam linearmente dependentes (LD).
Dados relevantes: e
. Objetivo: determinar a condição em
e
que torna
e
LD.
Pede-se encontrar a relação entre
Dados relevantes:
Passo 2
Conceito-chave (explicado de forma simples): dois vetores do plano são linearmente dependentes se e somente se um deles é múltiplo escalar do outro.
Isto significa que existe um número (escala) tal que
Isto significa que existe um número (escala)
Aqui
é um escalar real. Intuição: em
, LD significa que os dois vetores apontam na mesma direção (ou em direções opostas) — não formam um paralelogramo com área diferente de zero.
Passo 3
Aplicando a definição: suponha que exista
com
Substituindo as componentes obtemos duas equações escalares isoladas:
Cada uma dessas equações relaciona as componentes correspondentes dos vetores. Vamos manipular essas equações passo a passo.
Passo 4
Da primeira equação isolamos
:
Agora substituímos esse
na segunda equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Reescrevendo de forma habitual:
Essa é a condição necessária e suficiente (pois partimos da equivalência: existência de
vetores LD).
Passo 5
Verificação alternativa (intuição geométrica / cálculo rápido): dois vetores
e
são LD exatamente quando o determinante da matriz formada por suas componentes é zero, isto é,
. Aplicando a
e
temos
que também dá
Ambos os métodos chegam à mesma relação, confiança total no resultado.