Determine a relação entre m e n para que sejam LD os vetores \vec{r}=(m, 5) e \vec{s}=(2, n). resp.: m n=10

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano: \vec{r}=(m,5) e \vec{s}=(2,n).
Pede-se encontrar a relação entre m e n para que esses vetores sejam linearmente dependentes (LD).
Dados relevantes: \vec{r}=(m,5) e \vec{s}=(2,n). Objetivo: determinar a condição em m e n que torna \vec{r} e \vec{s} LD.

Passo 2

Conceito-chave (explicado de forma simples): dois vetores do plano são linearmente dependentes se e somente se um deles é múltiplo escalar do outro.
Isto significa que existe um número (escala) k tal que
\vec{r}=k\,\vec{s}.
Aqui k é um escalar real. Intuição: em \mathbb{R}^2, LD significa que os dois vetores apontam na mesma direção (ou em direções opostas) — não formam um paralelogramo com área diferente de zero.

Passo 3

Aplicando a definição: suponha que exista k com
\vec{r}=k\,\vec{s}.
Substituindo as componentes obtemos duas equações escalares isoladas:
m = k\cdot 2
5 = k\cdot n
Cada uma dessas equações relaciona as componentes correspondentes dos vetores. Vamos manipular essas equações passo a passo.

Passo 4

Da primeira equação isolamos k:
k=\frac{m}{2}.
Agora substituímos esse k na segunda equação:
5 = \frac{m}{2}\cdot n.
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
10 = m n.
Reescrevendo de forma habitual:
m n = 10.
Essa é a condição necessária e suficiente (pois partimos da equivalência: existência de k \Leftrightarrow vetores LD).

Passo 5

Verificação alternativa (intuição geométrica / cálculo rápido): dois vetores (a,b) e (c,d) são LD exatamente quando o determinante da matriz formada por suas componentes é zero, isto é, ad-bc=0. Aplicando a \vec{r}=(m,5) e \vec{s}=(2,n) temos
m\cdot n - 5\cdot 2 = 0,
que também dá
m n - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad m n = 10.
Ambos os métodos chegam à mesma relação, confiança total no resultado.

Resposta

m n = 10

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