Mostre que são linearmente dependentes os vetores \vec{u}=\vec{i}+2 \vec{j}+3 \vec{k}, \vec{v}=-\vec{i}+4 \vec{k} e \vec{w}=3 \vec{i}+4 \vec{j}+2 \vec{k}. Mostre que é possível escrevermos \vec{r}=5 \vec{i}+2 \vec{j}-13 \vec{k} de uma infinidade de maneiras como combinação linear desses vetores. Justifique geometricamente o que ocorre nesse caso.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede duas coisas. Vetores dados:
\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad \vec{v}=-\vec{i}+4\vec{k}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]4\end{pmatrix},\quad \vec{w}=3\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]4\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Perguntas:
  1. Mostrar que esses vetores são linearmente dependentes (ou seja, encontrar escalares não todos nulos cuja combinação linear é o vetor nulo).
  2. Mostrar que o vetor \vec{r}=5\vec{i}+2\vec{j}-13\vec{k}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\\[4pt]-13\end{pmatrix} pode ser escrito de uma infinidade de maneiras como combinação linear de \vec{u},\vec{v},\vec{w} e justificar geometricamente o que ocorre.
    Todas as informações relevantes estão acima. A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

O que significa “linearmente dependentes” (aula rápida): vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, nem todos zero, tais que
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}.
Para achar a,b,c escrevemos essa igualdade coordenada a coordenada e resolvemos o sistema linear resultante. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Escrevendo a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0} nas coordenadas (em \mathbb{R}^3) obtemos o sistema:
\begin{cases} a - b + 3c = 0,\\[4pt] 2a + 0\cdot b + 4c = 0,\\[4pt] 3a + 4b + 2c = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema explicitando cada passo.]

Passo 4

Da segunda equação 2a+4c=0 temos
2a+4c=0\quad\Rightarrow\quad a=-2c.
Substituo a=-2c na primeira equação:
(-2c) - b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad c - b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = c.
Agora substituo a=-2c e b=c na terceira equação para verificar consistência:
3(-2c)+4\text{(c)}+2c = -6c+4c+2c =0,
que é verdade para qualquer c. Portanto existe uma família infinita de soluções para (a,b,c) parametrizada por c.

Passo 5

Escolhendo c=1 obtemos uma solução explícita não trivial:
a=-2,\quad b=1,\quad c=1.
Logo
-2\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0},
ou equivalentemente
\vec{v}+\vec{w}=2\vec{u}.
Isso prova que \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes (já que encontramos escalares não todos nulos satisfazendo a condição).

Passo 6

Agora vamos representar \vec{r} como combinação linear:
procuramos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{r}.
Escrevendo em coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha - \beta + 3\gamma = 5,\\[4pt] 2\alpha + 0\cdot\beta + 4\gamma = 2,\\[4pt] 3\alpha + 4\beta + 2\gamma = -13. \end{cases}]

Passo 7

Da segunda equação 2\alpha+4\gamma=2 temos
\alpha+2\gamma=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 1-2\gamma.
Substituo \alpha na primeira equação:
(1-2\gamma) - \beta + 3\gamma = 5 \quad\Rightarrow\quad 1 + \gamma - \beta = 5 \quad\Rightarrow\quad \beta = \gamma -4.
Verifico na terceira equação por consistência: substituindo \alpha=1-2\gamma e \beta=\gamma-4,
3(1-2\gamma)+4(\gamma-4)+2\gamma = 3 -6\gamma +4\gamma -16 +2\gamma = 3-16 +(-6\gamma+4\gamma+2\gamma)= -13 +0 = -13,
funciona para todo \gamma. Portanto há infinitas soluções parametrizadas por \gamma\in\mathbb{R}.

Passo 8

Escrevendo explicitamente a família de soluções em função de t=\gamma, obtemos a representação geral
\vec{r}=(1-2t)\vec{u}+(t-4)\vec{v}+t\vec{w},\qquad t\in\mathbb{R}.
Exemplos concretos: para t=0 temos \vec{r}=1\vec{u}-4\vec{v}+0\vec{w} (ou seja \vec{r}=\vec{u}-4\vec{v}), e para t=1 temos \vec{r}=-1\vec{u}-3\vec{v}+1\vec{w}. São representações diferentes que produzem o mesmo \vec{r}.

Passo 9

Justificativa algébrica do porquê da infinitude: como existe uma relação não trivial
-2\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0},
se (\alpha,\beta,\gamma) é uma solução para \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{r}, então para qualquer t\in\mathbb{R}
(\alpha,\beta,\gamma)+t(-2,1,1)
é também solução, porque ao somar t(-2\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) ao lado esquerdo não mudamos o resultado. Assim de uma solução obtemos infinitas simplesmente somando múltiplos da relação de dependência.

Passo 10

Justificativa geométrica (explicação intuitiva e visual): em \mathbb{R}^3 três vetores podem gerar um subespaço de dimensão 1, 2 ou 3. Aqui, como há uma relação não trivial entre \vec{u},\vec{v},\vec{w}, o subespaço gerado por eles (o conjunto de todas as combinações lineares) tem dimensão menor que 3 — neste caso dimensão 2, ou seja, um plano passando pela origem. Geometricamente isso significa que \vec{u},\vec{v},\vec{w} estão todos contidos num mesmo plano através da origem. O vetor \vec{r} está nesse mesmo plano (pois escrevemos \vec{r} como combinação linear deles), então a descrição de \vec{r} através de \vec{u},\vec{v},\vec{w} não é única: há redundância (mais vetores do que o necessário para formar uma base do plano), por isso existem infinitas maneiras de escrever \vec{r}. Pense assim: numa mesma reta no plano eu posso alcançar o mesmo ponto movendo-me por diferentes pares de vetores no plano — ter vetores dependentes é ter “atalhos” que permitem várias combinações equivalentes.

Resposta

-2\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}.
\displaystyle \vec{r}=(1-2t)\vec{u}+(t-4)\vec{v}+t\vec{w},\quad t\in\mathbb{R} (infinitas representações; por exemplo \vec{r}=\vec{u}-4\vec{v} quando t=0).
Geometricamente: \vec{u},\vec{v},\vec{w} estão no mesmo plano (span de dimensão 2), logo \vec{r} pertence a esse plano e, por haver dependência linear (redundância), as representações de \vec{r} não são únicas.

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