Determine quais das relações abaixo são uma relação de equivalência em Z :
(b) x mid y

Passo 1

O enunciado define uma relação R em Z por
x ;R; y Long<=ftrightarrow x mid y,
ou seja, “ x divide y”. Queremos ver se R é uma relação de equivalência, isto é, se ela satisfaz os três requisitos: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificamos a reflexividade: para todo xinZ deve valer xmid x.
Por definição, xmid x significa que existe kinZ tal que x = xcdot k. Basta escolher k=1 (para xneq0) ou observar que para x=0 existe qualquer k com 0 = 0cdot k. Logo
forall xinZ,;xmid x
e R é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria: se xmid y, será que ymid x sempre?
Um contra-exemplo simples é 2mid4, pois 4=2cdot2, mas 4notmid2, já que não há inteiro m com 2=4cdot m.
Portanto, R não é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade: se xmid y e ymid z, então existem k,ellinZ tais que
y = xcdot k e z = ycdot ell = (xcdot k)ell = x,(kell)
Como kellinZ, segue xmid z. Logo R é transitiva.

Resposta

A relação “ xmid y” em Z é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica. Consequentemente, não é uma relação de equivalência.

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