Determine quais das relações abaixo são uma relação de equivalência em
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado define uma relação
em
por
ou seja, “
divide
”. Queremos ver se
é uma relação de equivalência, isto é, se ela satisfaz os três requisitos: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificamos a reflexividade: para todo
deve valer
.
Por definição, significa que existe
tal que
. Basta escolher
(para
) ou observar que para
existe qualquer
com
. Logo
Por definição,
e
é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria: se
, será que
sempre?
Um contra-exemplo simples é , pois
, mas
, já que não há inteiro
com
.
Portanto, não é simétrica.
Um contra-exemplo simples é
Portanto,
Passo 4
Verificamos a transitividade: se
e
, então existem
tais que
Como
, segue
. Logo
é transitiva.
Resposta
A relação “
” em
é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica. Consequentemente, não é uma relação de equivalência.