Questão 2 Considere a matriz real
A=(rrrr 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 3 -1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 )
(a) Determine a matriz inversa de A.
(b) Escreva A como produto de matrizes elementares;

Passo 1

Temos a matriz real
A= 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 3 -1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1
O conteúdo é encontrar A^-1 por eliminação de Gauss–Jordan e, em seguida, escrever A como produto de matrizes elementares. Para isso, vamos montar a matriz aumentada l[Amid I4r], aplicar operações elementares de linha para obter l[I4mid A^-1r] e, por fim, registrar cada operação como uma matriz elementar.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial e explicamos a estratégia:
l[Amid I4r] =(cccc|cccc 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 )
Nosso objetivo é usar pivôs na diagonal principal, zerar acima e abaixo de cada pivô e transformar o lado esquerdo em I4.

Passo 3

Eliminação na coluna 1 usando R1 como pivô:
  • R3 R3+R1
  • R4 R4-R1
    Após isso, a aumentada fica
(cccc|cccc 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 )

Passo 4

Pivô na coluna 2: trocamos R2rightarrow R3, depois escalamos R2 por -1 para obter pivô +1, e então
  • R4 R4-R2.
    Aumentada resultante:
(cccc|cccc 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 5

Pivô na coluna 3: dividimos R3 por 2 e então zeramos em cima
  • R1 R1-2,R3
  • R2 R2+2,R3.
    Fica
(cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -3 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 3 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac32 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 6

Pivô na coluna 4 (já é 1 em R4): zeramos acima
  • R1 R1+3,R4
  • R2 R2-3,R4
  • R3 R3-tfrac32,R4.
    Ao final, o lado esquerdo é I4 e o direito é exatamente A^-1:
l[I4mid A^-1r] =(cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 3 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -4 & -3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 7

Portanto a inversa é
A^-1 = 1 & -1 & 3 & 3 -1 & 1 & -4 & -3 0 & tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 0 & 0 & 1 & 1

Passo 8

Cada operação de linha que aplicamos corresponde a uma matriz elementar Ei, de modo que
E11,cdots,E2,E1,A = I4
Como a inversa de cada Ei também é elementar, temos
A = E1^-1,E2^-1,cdots,E11^-1,
ou seja, A é produto de matrizes elementares. Aqui estão as 11 operações e suas matrizes:
E1&=I+E31(1),& E2&=I+E41(-1), E3&=permuta R2rightarrow R3,& E4&=diag(1,-1,1,1), E5&=I+E42(-1),& E6&=diag(1,1,tfrac12,1), E7&=I+E13(-2),& E8&=I+E23(2), E9&=I+E14(3),& E10&=I+E24(-3), E11&=I+E34(-tfrac32)
Logo
A =E1^-1,E2^-1,cdots,E11^-1,
com cada Ei^-1 também elementar, o que conclui a parte (b).

Resposta

(a)
A^-1 = 1 & -1 & 3 & 3 -1 & 1 & -4 & -3 0 & tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 0 & 0 & 1 & 1
(b)
A =E1^-1,E2^-1,cdots,E11^-1,
onde cada Ei é a matriz elementar das operações listadas acima.

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