Questão 2 Considere a matriz real
(a) Determine a matriz inversa de
A .
(b) Escreva A como produto de matrizes elementares;
(b) Escreva A como produto de matrizes elementares;
Passo 1
Temos a matriz real
O conteúdo é encontrar
A^-1 por eliminação de Gauss–Jordan e, em seguida, escrever
A como produto de matrizes elementares. Para isso, vamos montar a matriz aumentada
l[Amid I4r] , aplicar operações elementares de linha para obter
l[I4mid A^-1r] e, por fim, registrar cada operação como uma matriz elementar.
Passo 2
Montamos a matriz aumentada inicial e explicamos a estratégia:
Nosso objetivo é usar pivôs na diagonal principal, zerar acima e abaixo de cada pivô e transformar o lado esquerdo em
I4 .
Passo 3
Eliminação na coluna 1 usando
R1 como pivô:
-
R3 R3+R1 -
R4 R4-R1
Após isso, a aumentada fica
Passo 4
Pivô na coluna 2: trocamos
R2rightarrow R3 , depois escalamos
R2 por
-1 para obter pivô
+1 , e então
-
.R4 R4-R2
Aumentada resultante:
Passo 5
Pivô na coluna 3: dividimos
R3 por
2 e então zeramos em cima
-
R1 R1-2,R3 -
.R2 R2+2,R3
Fica
Passo 6
Pivô na coluna 4 (já é
1 em
R4 ): zeramos acima
-
R1 R1+3,R4 -
R2 R2-3,R4 -
.R3 R3-tfrac32,R4
Ao final, o lado esquerdo é e o direito é exatamenteI4 :A^-1
Passo 7
Portanto a inversa é
Passo 8
Cada operação de linha que aplicamos corresponde a uma matriz elementar
Ei , de modo que
Como a inversa de cada
Ei também é elementar, temos
ou seja,
A é produto de matrizes elementares. Aqui estão as 11 operações e suas matrizes:
Logo
com cada
Ei^-1 também elementar, o que conclui a parte (b).
Resposta
(a)
(b)
onde cada
Ei é a matriz elementar das operações listadas acima.